Біметричні теорії гравітації

Двовимірні моделі розширюють загальну теорію відносності, щоб точно пояснити природу темної матерії та темної енергії

Біметричні теорії гравітації — альтернативні теорії гравітації, в яких замість одного метричного тензора використовують два або більше. Часто друга метрика вводиться лише за високих енергій, із припущенням, що швидкість світла може залежати від енергії. Найвідомішими прикладами біметричних теорій є теорія Розена та релятивістська теорія гравітації (остання — в канонічному трактуванні).

Біметрична теорія Розена

У загальній теорії відносності передбачається, що відстань між двома точками у просторі-часі визначається метричним тензором. Для розрахунку форми метрики виходячи з розподілу енергії використовують рівняння Ейнштейна.

Натан Розен (1940) запропонував у кожній точці простору-часу ввести на додаток до ріманового метричного тензора $g_{ij}$ евклідів метричний тензор $\gamma _{ij}$. Таким чином, у кожній точці простору-часу ми отримуємо дві метрики:

$ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}$

$d\sigma ^{2}=\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}$

Перший метричний тензор $g_{ij}$ описує геометрію простору-часу і, отже, гравітаційне поле. Другий метричний тензор $\gamma _{ij}$ стосується плоского простору-часу та описує інерційні сили. Символи Крістоффеля, сформовані з $g_{ij}$ і $\gamma _{ij}$, позначимо $\{_{jk}^{i}\}$ і $\Gamma _{jk}^{i}$ відповідно. $\Delta$ визначимо так, щоб

$\Delta _{jk}^{i}=\{_{jk}^{i}\}-\Gamma _{jk}^{i}~~~~~~~~~~~~~~(1)$

Тепер виникають два види коваріантного диференціювання: $g$-диференціювання, засноване на $g_{ij}$ — позначають крапкою з комою (;), та 3-диференціювання на основі $\gamma _{ij}$ — позначають символом / (звичайні часткові похідні позначають комою (,)). $R_{ij\sigma }^{\lambda }$ і $P_{ij\sigma }^{\lambda }$ будуть тензорами кривини, що розраховуються з $g_{ij}$ і $\gamma _{ij}$ відповідно. На основі викладеного вище підходу, тоді, коли $\gamma _{ij}$ описує плоску просторово-часову метрику, тензор кривини $P_{ij\sigma }^{\lambda }$ дорівнює нулю.

З (1) випливає, що хоча $\{_{jk}^{i}\}$ і $\Gamma$ не є тензорами, але $\Delta$ — тензор, що має таку ж форму, як $\{_{jk}^{i}\}$, за винятком того, що звичайна часткова похідна замінюється 3-коваріантною похідною. Простий розрахунок приводить до

$R_{ijk}^{h}=-\Delta _{ij/k}^{h}+\Delta _{ik/j}^{h}+\Delta _{mj}^{h}\Delta _{ik}^{m}-\Delta _{mk}^{h}\Delta _{ij}^{m}$

Кожен член у правій стороні цього співвідношення є тензором. Видно, що від загальної теорії відносності можна перейти до нової теорії, замінивши $\{_{jk}^{i}\}$ на $\Delta$, звичайне диференціювання на 3-коваріантне диференціювання, ${\sqrt {-g}}$ на ${\sqrt {\frac {g}{\gamma }}}$, елемент інтегрування $d^{4}x$ на ${\sqrt {-\gamma }}d^{4}x$, де $g=det(g_{ij})$, $\gamma =det(\gamma _{ij})$ і $d^{4}x=dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}$. Як тільки ми ввели $\gamma _{ij}$ в теорію, то в нашому розпорядженні виявляється багато нових тензорів та скалярів. Отже, можна отримати рівняння поля, відмінні від рівнянь поля Ейнштейна.

Рівняння для геодезичної в біметричній теорії відносності (БТВ) набуває форми

${\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}+\Gamma _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}}+\Delta _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}}=0~~~~~~~~~~~~~~(2)$

З рівнянь (1) і (2) видно, що можна вважати, що $\Gamma$ описує інерційне поле, оскільки $\Gamma$ зникає внаслідок відповідного перетворення координат. Властивість же $\Delta$ бути тензором не залежить від будь-яких систем координат, і, отже, можна вважати, що $\Delta$ визначає постійне гравітаційне поле.

Розен (1973) знайшов біметричні теорії, які задовольняють принципу еквівалентності. 1966 року Розен показав, що запровадження плоскої просторової метрики в межах загальної теорії відносності не лише дозволяє отримати щільність енергії-імпульсу тензора гравітаційного поля, але й дозволяє отримати цей тензор із варіаційного принципу. Рівняння поля у БТВ, отримане з варіаційного принципу

$K_{j}^{i}=N_{j}^{i}-{\frac {1}{2}}\delta _{j}^{i}N=-8\pi \kappa T_{j}^{i}~~~~~~~~~~~~~~(3)$

де

$N_{j}^{i}={\frac {1}{2}}\gamma ^{\alpha \beta }(g^{hi}g_{hj/\alpha })_{/\beta }$

або

$N_{j}^{i}=\gamma ^{\alpha \beta }\left\{(g^{hi}g_{hj,\alpha }),\beta -(g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}),\beta \right\}-\gamma ^{\alpha \beta }(\Gamma _{j\alpha }^{i}),\beta +\Gamma _{\lambda \beta }^{i}[g^{h\lambda }g_{hj},\alpha -g^{h\lambda }g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{j\alpha }^{\lambda }]-\Gamma _{j\beta }^{\lambda }[g^{hi}g_{h\lambda },\alpha -g^{hi}g_{m\lambda }\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{\lambda \alpha }^{i}]$

$+\Gamma _{\alpha \beta }^{\lambda }[g^{hi}g_{hj},\lambda -g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\lambda }^{m}-\Gamma _{j\lambda }^{i}]$

$N=g^{ij}N_{ij},\kappa ={\sqrt {\frac {g}{\gamma }}},$

і $T_{j}^{i}$ — тензор енергії-імпульсу. Варіаційний принцип приводить також до зв'язку

$T_{j;i}^{i}=0.$

Тому з (3)

$K_{j;i}^{i}=0,$

що має на увазі, що пробна частинка в гравітаційному полі рухається геодезичною відносно $g_{ij}$. Фізичні наслідки такої теорії, втім, не відрізняються від загальної теорії відносності.

За іншого вибору початкових рівнянь біметричні теорії та ЗТВ відрізняються в таких випадках:

• Поширення електромагнітних хвиль.
• Зовнішнє поле зір високої густини.
• Поширення інтенсивних гравітаційних хвиль через сильне статичне гравітаційне поле.

Посилання

• N. Rosen. General Relativity and Flat Space. I // Phys. Rev. : журнал. — 1940. — Vol. 57, no. 2. — P. 147—150. — DOI:10.1103/PhysRev.57.147.
• N. Rosen. General Relativity and Flat Space. II // Phys. Rev. : журнал. — 1940. — Vol. 57, no. 2. — P. 150—153. — DOI:10.1103/PhysRev.57.150.
• N. Rosen. A bi-metric theory of gravitation // General Relativity and Gravitation : журнал. — 1973. — Vol. 4, no. 6. — P. 435—447. — DOI:10.1007/BF01215403.^{[недоступне посилання з березня 2020]}
• N. Rosen. A bi-metric theory of gravitation. II // General Relativity and Gravitation : журнал. — 1975. — Vol. 6, no. 3. — P. 259—268. — DOI:10.1007/BF00751570.^{[недоступне посилання з березня 2020]}