Параметризований постньютонівський формалізм

Параметризо́ваний постнью́тонівський формалі́зм (ППН формалі́зм) — версія постньютонівського формалізму, застосовна не тільки до загальної теорії відносності, але й до інших метричних теорій гравітації, коли рухи тіл задовольняють принцип еквівалентності Ейнштейна. У такому підході явно виписуються всі можливі залежності гравітаційного поля від розподілу матерії аж до відповідного порядку оберненого квадрата швидкості світла $c^{-2}$ (точніше, швидкості гравітації, при цьому зазвичай обмежуються першим порядком) і складається найзагальніший вираз для розв'язання рівнянь гравітаційного поля і руху матерії. Різні теорії гравітації при цьому пророкують різні значення коефіцієнтів — так званих ППН параметрів — у загальних виразах. Це приводить до потенційно спостережуваних ефектів, експериментальні обмеження на величину яких призводять до обмежень на ППН параметри, і відповідно — до обмежень на теорії гравітації, що їх передбачають. Можна сказати, що ППН параметри описують відмінності між ньютонівською та описуваною теоріями гравітації. ППН формалізм застосовний, коли гравітаційні поля слабкі, а швидкості руху тіл, що формують їх, малі, порівняно зі швидкістю світла (точніше, швидкістю гравітації) — канонічними прикладами застосування є рух Сонячної системи і систем пульсарів у подвійних системах.

Історія

Перша параметризація постньютонівського наближення належить перу Еддінгтона (Eddington, 1922). У ній розглядалося, втім, лише гравітаційне поле у вакуумі навколо сферично-симетричного статичного тіла. Нордтведт (Nordtvedt, 1968, 1969) розширив формалізм до 7 параметрів, а Вілл (Will, 1971) ввів у нього опис небесних тіл як протяжних розподілів тензора енергії-імпульсу.

Застосовувані найчастіше і описані нижче версії формалізму ґрунтуються на працях Ні (Ni, 1972), Вілла і Нордтведта (Will & Nordtvedt, 1972), Мізнера, Торна і Вілера Гравітація та Вілла, і мають 10 параметрів.

Бета-дельта варіант (Beta-delta notation)

Десять постньютонівських параметрів (ППН параметрів) повністю характеризують поведінку переважної більшості метричних теорій гравітації в границі слабкого поля. ППН формалізм виявився цінним засобом для перевірки загальної теорії відносності. В позначеннях Вілла (Will, 1971), Ні (Ni, 1972) і Мізнера, Торна і Вілера (Misner et al., 1973) ППН параметри мають умовно таке значення:

$\gamma$	Наскільки сильну просторову кривину в $g_{ij}$ генерує одиниця маси спокою?
$\beta$	Наскільки велика нелінійність у $g_{00}$ при додаванні гравітаційних полів?
$\beta _{1}$	Скільки тяжіння в $g_{00}$ створює одиниця кінетичної енергії $\textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{0}v^{2}$?
$\beta _{2}$	Скільки тяжіння в $g_{00}$ створює одиниця гравітаційної потенціальної енергії $\rho _{0}/U$?
$\beta _{3}$	Скільки тяжіння в $g_{00}$ створює одиниця внутрішньої енергії тіла $\rho _{0}\Pi$?
$\beta _{4}$	Скільки тяжіння в $g_{00}$ створює одиниця тиску $p$?
$\zeta$	Різниця між проявом радіальної та трансверсальної кінетичної енергії в тяжінні в $g_{00}$
$\eta$	Різниця між проявом радіальних і трансверсальних напруг у тяжінні в $g_{00}$
$\Delta _{1}$	Скільки захоплення інерційних систем відліку в $g_{0j}$ створює одиниця імпульсу $\rho _{0}v$?
$\Delta _{2}$	Різниця між степенем захоплення інерційних систем відліку в радіальному і трансверсальному напрямках

$g_{\mu \nu }$ — симетричний метричний тензор 4 на 4, а просторові індекси $i$ і $j$ пробігають значення від 1 до 3.

У теорії Ейнштейна ці параметри відповідають тому, що (1) для малих швидкостей руху тіл та їхніх мас відновлюється ньютонівське тяжіння, (2) виконуються закони збереження енергії, маси, імпульсу та моменту імпульсу, і (3) рівняння теорії не залежать від системи відліку. У таких позначеннях загальна теорія відносності має ППН параметри

$\gamma =\beta =\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1$ і $\zeta =\eta =0$ .

Альфа-дзета варіант (Alpha-zeta notation)

У сучаснішій версії (Will & Nordtvedt, 1972), що використовується також у роботах Вілла (1981, 2014), застосовується інший еквівалентний набір із 10 ППН параметрів:

$\gamma =\gamma$,

$\beta =\beta$,

$\alpha _{1}=7\Delta _{1}+\Delta _{2}-4\gamma -4$,

$\alpha _{2}=\Delta _{2}+\zeta -1$,

$\alpha _{3}=4\beta _{1}-2\gamma -2-\zeta$,

$\zeta _{1}=\zeta$,

$\zeta _{2}=2\beta +2\beta _{2}-3\gamma -1$,

$\zeta _{3}=\beta _{3}-1$,

$\zeta _{4}=\beta _{4}-\gamma$,

$\xi$ виходить з $3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3\alpha _{1}+2\alpha _{2}-2\zeta _{1}-\zeta _{2}$.

Сенс параметрів $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$ і $\alpha _{3}$ при цьому — ступінь прояву ефектів переважної системи відліку (ефіру). $\zeta _{1}$, $\zeta _{2}$, $\zeta _{3}$, $\zeta _{4}$ і $\alpha _{3}$ вимірюють ступінь порушення законів збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу.

У цих позначеннях ППН параметри ЗТВ є

$\gamma =\beta =1$ і $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4}=\xi =0$ .

Вигляд метрики альфа-дзета варіанту:

${\begin{matrix}g_{00}=-1+2U-2\beta U^{2}-2\xi \Phi _{W}+(2\gamma +2+\alpha _{3}+\zeta _{1}-2\xi )\Phi _{1}+2(3\gamma -2\beta +1+\zeta _{2}+\xi )\Phi _{2}\\\ +2(1+\zeta _{3})\Phi _{3}+2(3\gamma +3\zeta _{4}-2\xi )\Phi _{4}-(\zeta _{1}-2\xi )A-(\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})w^{2}U\\\ -\alpha _{2}w^{i}w^{j}U_{ij}+(2\alpha _{3}-\alpha _{1})w^{i}V_{i}+O(\varepsilon ^{3})\end{matrix}}$

$g_{0i}=-\textstyle {\frac {1}{2}}(4\gamma +3+\alpha _{1}-\alpha _{2}+\zeta _{1}-2\eta )V_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\alpha _{2}-\zeta _{1}+2\xi )W_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(\alpha _{1}-2\alpha _{2})w^{i}U-\alpha _{2}w^{j}U_{ij}+O(\varepsilon ^{\frac {5}{2}})\;,$

$g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\varepsilon ^{2})\;$,

де за індексами, що повторюються, передбачається підсумовування, $\varepsilon ^{2}$ визначається як найбільше в системі значення ньютонівського потенціалу $U$, квадрата швидкості матерії або подібних величин (вони всі мають один порядок величини), $w^{i}$ — швидкість ППН координатної системи відносно виділеної системи спокою, $w^{2}=w^{i}w^{j}\delta _{ij}$ — квадрат цієї швидкості, а $\delta _{ij}=1$ якщо $i=j$ і $0$ у протилежному випадку — символ Кронекера.

Є лише десять простих метричних потенціалів: $U$, $U_{ij}$, $\Phi _{W}$, $A$, $\Phi _{1}$, $\Phi _{2}$, $\Phi _{3}$, $\Phi _{4}$, $V_{i}$ і $W_{i}$, стільки ж, як і ППН параметрів, що гарантує єдиність ППН розв'язку для кожної теорії гравітації. Форма цих потенціалів нагадує гравітаційний потенціал ньютонівської теорії — вони дорівнюють визначеним інтегралам за розподілом матерії, наприклад,

$U(\mathbf {x} ,t)=\int {\rho _{0} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'.$

Повний список визначень метричних потенціалів див. у роботах Мізнера, Торна, Вілера (Misner et al., 1973), Вілла (1981, 2014) та ін.

Процедура отримання ППН параметрів з теорії гравітації

Приклади аналізу можна знайти у книзі Вілла, 1981. Процес складається з дев'яти стадій:

• Крок 1: Визначення змінних: (a) динамічні гравітаційні змінні, такі як метрика $g_{\mu \nu }$, гравітаційне скалярне $\phi$, векторне $K_{\mu }$ та/або тензорне поле $B_{\mu \nu }$ тощо; (b) змінні переважної геометрії, такі як плоска фонова метрика $\eta _{\mu \nu }$, космологічний час $t$ тощо; (c) змінні матеріальних (негравітаційних) полів.

• Крок 2: Встановлення космологічних граничних умов: припускаючи всесвіт Фрідмана (однорідний та ізотропний), вводимо ізотропні координати в системі спокою Всесвіту (повне космологічне рішення для цього потрібно не завжди). Отримані фонові космологічні поля називаємо $g_{\mu \nu }^{(0)}={\mbox{diag}}(-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})$, $\phi _{0}$, $K_{\mu }^{(0)}$, $B_{\mu \nu }^{(0)}$.

• Крок 3: Вводимо нові змінні $h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}$, а якщо необхідно, то й $\phi -\phi _{0}$, $K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}$, $B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}$.

• Крок 4: Підставляємо отримані вирази та тензор енергії-імпульсу матерії (зазвичай ідеальної рідини) у рівняння гравітаційного поля та відкидаємо члени надто високого порядку для $h_{\mu \nu }$ та інших динамічних гравітаційних змінних.

• Крок 5: Розв'язуємо рівняння для $h_{00}$ із точністю до $O(2)$. Припускаючи, що ця величина далеко від системи прямує до нуля, отримуємо форму $h_{00}=2\alpha U$, де $U$ — гравітаційний потенціал Ньютона, а $\alpha$ може бути складною функцією, що включає гравітаційну «сталу» $G$. Ньютонова метрика має форму $g_{00}=-c_{0}+2\alpha U$, $g_{0j}=0$, $g_{ij}=\delta _{ij}c_{1}$. Переходимо до одиниць, у яких гравітаційна «стала», виміряна зараз далеко від гравітувальної матерії, дорівнює одиниці $G_{\mbox{today}}=\alpha /c_{0}c_{1}=1$.

• Крок 6: З лінеаризованої версії польових рівнянь отримуємо $h_{ij}$ із точністю до $O(2)$ і $h_{0j}$ із точністю до $O(3)$.

• Крок 7: Знаходимо $h_{00}$ із точністю до $O(4)$. Це найскладніший етап, оскільки рівняння тут стають нелінійними. Тензор енергії-імпульсу також необхідно розкласти до потрібного порядку.

• Крок 8: Переходимо до стандартного ППН калібрування.

• Крок 9: Порівнюючи отриману метрику $g_{\mu \nu }$ з відомим ППН виразом, визначаємо ППН параметри теорії.

Порівняння теорій гравітації

Таблицю, що представляє ППН параметри 23 теорій гравітації, наведено в статті «Альтернативні теорії гравітації».

Більшість метричних теорій можна поділити за кількома категоріями. Скалярні теорії гравітації включають конформно-плоскі теорії та стратифіковані теорії з просторовими перерізами, строго ортогональними часовому напрямку.

У конформно-плоских теоріях, наприклад, теорія Нордстрема, метрика дорівнює $\mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta }}$ і тому $\gamma =-1$ що абсолютно несумісне зі спостереженнями. У стратифікованих теоріях, наприклад, теорії Їлмаза, метрика дорівнює $\mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta }}$ і, отже, $\alpha _{1}=-4(\gamma +1)$, що знову-таки суперечить спостереженням.

Інший клас теорій — квазілінійні теорії типу теорії Вайтгеда. Для них $\xi =\beta$. Оскільки відносні амплітуди гармонік земних припливів залежать від $\xi$ і $\alpha _{2}$, то їх виміри дозволяють відхилити всі подібні теорії, виключаючи таке велике значення $\xi$.

Ще один клас теорій — біметричні теорії. Для них $\alpha _{2}$ не дорівнює 0. З даних щодо прецесії осі обертання мілісекундних пульсарів ми знаємо, що $|\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9}$, і це ефективно відхиляє біметричні теорії.

Далі йдуть скалярно-тензорні теорії, наприклад, теорія Бранса — Діке. Для таких теорій у першому наближенні $\gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$. Межа $\gamma -1<2.3\times 10^{-5}$ дає дуже мале $1/\omega$, що характеризує ступінь «скалярності» гравітаційної взаємодії, а в міру уточнення експериментальних даних межа на $\omega$ все продовжує збільшуватися, отже такі теорії стають менш імовірними.

Останній клас теорій — векторно-тензорні теорії. Для них гравітаційна «стала» змінюється з часом і $\alpha _{2}$ не дорівнює 0. Лазерна локація Місяця сильно обмежує варіацію гравітаційної «сталої» та $|\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9}$ так що ці теорії також не виглядають надійними.

Деякі метричні теорії не потрапляють до виділених категорій, але мають подібні проблеми.

Експериментальні обмеження на ППН параметри

Значення взято з огляду Вілла, 2014.

Параметр	Межі	Ефекти	Експеримент
$\gamma -1$	$2.3\cdot 10^{-5}$	Ефект Шапіро, гравітаційне відхилення світла	Траєкторія «Кассіні — Гюйгенса»
$\beta -1$	$8\cdot 10^{-5}$	Ефект Нордтведта, зсув перигелію	Лазерна локація Місяця, рухи планет у Сонячній системі
$\xi$	$4\cdot 10^{-9}$	Прецесія осі обертання	Мілісекундні пульсари
$\alpha _{1}$	$4\cdot 10^{-5}$	Зсув площини орбіти	Лазерна локація Місяця, пульсар J1738+0333
$\alpha _{2}$	$2\cdot 10^{-9}$	Прецесія осі обертання	Мілісекундні пульсари
$\alpha _{3}$	$4\cdot 10^{-20}$	Самоприскорення	Статистика сповільнення пульсарів
$\zeta _{1}$	$0.02$	-	Комбінована межа різних експериментів
$\zeta _{2}$	$4\cdot 10^{-5}$	Прискорення подвійних пульсарів	PSR 1913+16
$\zeta _{3}$	$10^{-8}$	Третій закон Ньютона	Прискорення Місяця
$\zeta _{4}$	$0.006$‡	-	Не є незалежним

‡ За $6\zeta _{4}=3\alpha _{3}+2\zeta _{1}-3\zeta _{3}$ з робіт Вілла (1976, 2014). Теоретично в деяких теоріях гравітації можливий обхід цього обмеження, тоді застосовною є слабша межа $|\zeta _{4}|<0.4$ зі статті Ні (1972).

Література

Основна

• Will, C. M. Theory and Experiment in Gravitational Physics. — Cambridge University Press, 1981, 1993. — ISBN 0-521-43973-6.
• Will C. M.. The Confrontation between General Relativity and Experiment // Living Reviews in Relativity. — 2014. — Vol. 17, no. 4. — arXiv:1403.7377. — Bibcode:2014LRR….17….4W. — DOI:10.12942/lrr-2014-4. Архівовано з джерела 19 березня 2015.

Додаткова

• Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. Gravitation. — W. H. Freeman and Co, 1973.
• Eddington, A. S. The Mathematical Theory of Relativity. — Cambridge University Press, 1922.
• Ni W.-T.. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity.IV. a Compendium of Metric Theories of Gravity and Their POST Newtonian Limits // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1972. — Vol. 176. — P. 769. — Bibcode:1972ApJ…176..769N. — DOI:10.1086/151677.
• Nordtvedt K.. Equivalence Principle for Massive Bodies. II. Theory // Physical Review. — 1968. — Vol. 169. — P. 1017—1025. — Bibcode:1968PhRv..169.1017N. — DOI:10.1103/PhysRev.169.1017.
• Nordtvedt K.. Equivalence Principle for Massive Bodies Including Rotational Energy and Radiation Pressure // Physical Review. — 1969. — Vol. 180. — P. 1293—1298. — Bibcode:1969PhRv..180.1293N. — DOI:10.1103/PhysRev.180.1293.
• Will C. M.. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity. II. Parametrized Post-Newtonian Hydrodynamics, and the Nordtvedt Effect // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1971. — Vol. 163. — P. 611. — Bibcode:1971ApJ…163..611W. — DOI:10.1086/150804.
• Will C. M.. Active mass in relativistic gravity — Theoretical interpretation of the Kreuzer experiment // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1976. — Vol. 204. — P. 224—234. — Bibcode:1976ApJ…204..224W. — DOI:10.1086/154164.
• Will C. M., Nordtvedt Jr., K.. Conservation Laws and Preferred Frames in Relativistic Gravity. I. Preferred-Frame Theories and an Extended PPN Formalism // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1972. — Vol. 177. — P. 757. — Bibcode:1972ApJ…177..757W. — DOI:10.1086/151754.