Вкладення Веронезе

Вкладення Веронезе — в алгебраїчній геометрії приклад морфізму проєктивних многовидів, що вкладає проєктивний простір, як підмноговид іншого проєктивного простору більшої розмірності. Образ цього вкладення називається многовидом Веронезе. Особливо важливим прикладом є поверхня Веронезе — алгебрична поверхня в п'ятивимірному проєктивному просторі, яка має застосування у вивченні конік. Назване на честь італійського математика Джузеппе Веронезе.

Означення

Нехай $d$ і $n$ — натуральні числа і $N=C_{n+d}^{d}-1$ (де $C_{n+d}^{d}$ — біноміальний коефіцієнт).

Вкладенням Веронезе степеня d з n-вимірного проєктивного простору називається відображення

$\nu _{d}:\mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{N}$

яке точці з однорідними координатами $\left[x_{0}:\ldots :x_{n}\right]$ ставить у відповідність точку усіх можливих мономів від $x_{0},\ldots ,x_{n}$ степеня d посортованих у лексикографічному порядку. Образ проєктивного простору при цьому відображенні називається многовидом Веронезе.

Зокрема для $n=1$:

$\nu _{d}(\left[x_{0}:x_{1}\right])=\left[x_{0}^{d}:x_{0}^{d-1}x_{1}:x_{0}^{d-2}x_{1}^{2}:\ldots :x_{1}^{d}\right]$

і для $d=2$:

$\nu _{2}(\left[x_{0}:\ldots :x_{n}\right])=\left[x_{0}^{2}:x_{0}x_{1}:\ldots :x_{0}x_{n}:x_{1}^{2}:\ldots :x_{1}x_{n}:\ldots :x_{n}^{2}\right]$.

Для невеликих d відображення є тривіальним: при d = 0 образом є єдина точка $\mathbb {P} _{0}$, при d = 1 відображення є тотожним; тому зазвичай розглядається випадок коли d є не менше двох.

Можна означити відображення Веронезе не залежним від координат способом, а саме

$\nu _{d}:\mathbb {P} V\to \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)}}$

де V — скінченновимірний векторний простір, а ${\rm {{Sym}^{d}V}}$ — його симетричний степінь.

Раціональні нормальні криві

При $n=1$ образ вкладення Веронезе відомий як раціональна нормальна крива. Наведемо приклади раціональних нормальних кривих малих розмірностей:

• При $n=1,d=1$ вкладення Веронезе — тотожне відображення проєктивної прямої на себе.
• При $n=1,d=2$ многовид Веронезе — парабола $[x^{2}:xy:y^{2}],$ в афінних координатах $(x,x^{2}).$
• При $n=1,d=3$ многовид Веронезе — скручена кубика, $[x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],$ в афінних координатах $(x,x^{2},x^{3}).$

Поверхня Веронезе

Поверхня Веронезе — образ вкладення Веронезе для $n=2,d=2$ яке переважно записується як

$\nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]$

Поверхня Веронезе природним чином виникає при вивченні конік, особливо при доведенні твердження «п'ять точок однозначно визначають коніку». Коніка — це плоска крива, задана рівнянням

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0,$

яке є квадратичним щодо змінних $x,y,z.$ Однак композиція з вкладенням Веронезе дозволяє зробити це рівняння лінійним (точніше, для отримання довільної коники досить перетнути поверхню Веронезе гіперплощиною і взяти прообраз перетину).

Навпаки, умова того, що коніка містить точку $[x:y:z]$ є лінійною відносно коефіцієнтів $(A,B,C,D,E,F)$, тобто зменшує розмірність простору на одиницю. Точніше твердження полягає в тому, що п'ять точок загального положення визначають п'ять незалежних лінійних рівнянь, це випливає з того, що при вкладенні Веронезе точки загального положення переходять у точки загального положення.

Бірегулярність вкладення Веронезе

Вкладення Веронезе є морфізмом проєктивних многовидів оскільки всі однорідні координати образу відображення є однорідними многочленами степеня d від координат в області визначення і значення всіх цих многочленів не може бути одночасно нульовим.

Координати проєктивного простору $\mathbb {P} ^{N}$ у який відбувається вкладення можна проіндексувати степенями змінних у мономах, тобто як $z_{I}$, де $I=(i_{0},\ldots ,i_{n}),\quad i_{0}+\ldots +i_{n}=d,$що відповідає моному $x_{0}^{i_{0}},\ldots ,x_{n}^{i_{n}}.$ Якщо $I,J,K,L\in \mathbb {N}$ — чотири такі індекси, що $I+J=K+L$ (де сума визначається покоординатно), то з означення вкладення Веронезе очевидно, що координати його образу задовольняють рівність $z_{I}z_{J}-z_{K}z_{L}=0.$ Тобто образ вкладення Веронезе міститься у підмноговиді $\mathbb {P} ^{N}$, що задовольняє систему рівнянь:

$W=V\left(\{z_{I}z_{J}-z_{K}z_{L}=0\;|\;I,J,K,L\in \mathbb {N} ,\;I+J=K+L\}\right).$

Навпаки, якщо точка простору $\mathbb {P} ^{N}$ задовольняє вказаній системі рівнянь то вона належить образу вкладення Веронезе. Справді кожна така точка має хоча б одну ненульову серед координат $z_{I}$, де $I$ — індекс в якого стоїть d на позиції i і 0 на всіх інших позиціях. Дійсно якщо $z_{J}\neq 0$ для деякого індексу $J=(j_{0},\ldots ,j_{n})$ для якого, наприклад $0<j_{i}<d$, то з того, що $z_{J}z_{J}=z_{K}z_{L}\neq 0,\quad 2J=K+L,$ можна обрати $K$, таке що $z_{K}\neq 0$ і його елемент на i-ій позиції рівний $\min(2j_{i},d)$ тобто строго більший від $j_{i}$. Повторивши цю процедуру необхідну кількість разів отримаємо необхідний індекс в якому ненульове число буде лише на i-ій позиції.

Тоді ми можемо ввести відображення $\mu _{d}:\mathbb {P} ^{N}\to \mathbb {P} ^{n},$ який точці для якої $z_{I}\neq 0,$ де $I$ визначено як вище ставить у відповідність точку однорідні координати якої рівні:

$\left(z_{(1,0,\ldots ,d-1,\ldots ,0)}:z_{(0,1,\ldots ,d-1,\ldots ,0)}:\ldots :z_{(0,0,\ldots ,d-1,\ldots ,1)}\right)$

В усіх індексах вище d-1 знаходиться на i-ій позиції, а на i-ому місці стоїть $z_{I}$ (яка, відповідно, не рівна нулю). Неважко переконатися, що образ відображення не залежить від вибору індексу $I$, що задовольняє необхідні умови, і що відображення $\mu _{d}$ є оберненим до вкладення Веронезе.

З цього ми отримуємо, що образ многовида під дією вкладення Веронезе знову є многовидом (многовидом W), причому ізоморфним першому (jcrskmrb обернене відображення $\mu _{d}$ також очевидно є регулярним). Таким чином, вкладення Веронезе є бірегулярним.

З бірегулярності випливає, зокрема, що точки загального положення переходять у точки загального положення. Дійсно, якби образи точок задовольняли нетривіальному рівнянню, це рівняння задавало б підмноговид, прообраз якого був би підмноговидом, що містить вихідні точки. Також за допомогою цього можна показати, що будь-який проєктивний многовид є перетином многовида Веронезе і лінійного простору, тобто перетином квадрик.

Література

• Harris, Joe (1995), Algebraic Geometry: A First Course, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97716-4
• Karen Smith, Lauri Kahanpää, Pekka Kekäläinen, William Traves An invitation to algebraic geometry. Springer Verlag 2000, 2004, ISBN 0-387-98980-3.