Відображення Гауса

Відображення Гауса ставить у відповідність кожній точці поверхні вектор одиничної нормалі в цій точці. Кінці всіх таких векторів, відкладених від однієї точки, лежать на сфері одиничного радіусу.

Відображення Гауса (сферичне відображення, нормальне відображення) — відображення з гладкої орієнтовної поверхні в тривимірному евклідовому просторі в одиничну сферу, при якому точка поверхні відображається у вектор одиничної нормалі в цій точці. Більш загально подібне відображення можна ввести для гіперповерхонь у евклідових просторах довільної розмірності.

Диференціал відображення Гауса називається відображенням Вейнгартена. Оскільки дотичні площини до поверхні в деякій точці p і до одиничної сфери в образі точки p відображення Гауса є паралельними, відображення Вейнгартена можна інтерпретувати як лінійне відображення на дотичній площині до точки p.

Для підмноговидів евклідового простору довільної розмірності і корозмірності природним аналогом відображення Гауса є відображення, що зіставляє точці підмноговидів точку грассманіана, відповідну дотичному простору в цій точці.

Означення

Нехай S — регулярна диференційовна орієнтовна поверхня. В кожній точці p цієї поверхні існує два одиничні вектори, що є ортогональними до дотичної поверхні у точці p. Вибір одного з цих векторів задає орієнтацію. Оскільки поверхня є орієнтовною, то можна однозначно зробити вибір одиничних нормалей у кожній точці так, що в результаті одержується неперервне нормальне векторне поле. Якщо для точки $p\in S$ позначити відповідний нормальний вектор як N(p), то відображення:

$\mathrm {N} :S\to \mathbb {S} ^{2}\quad p\to \mathrm {N} (p)$

називається відображенням Гауса.

Відображення Гауса є диференційовним і його диференціал $d_{p}\mathrm {N}$ у деякій точці p називається відображенням Вейнгартена.

Для відображення Вейнгартена дотична площина $T_{\mathrm {N} (p)}\mathbb {S} ^{2}$ є паралельною до дотичної площини $T_{p}S.$ Це легко можна побачити у локальних координатах $S=S(u,v)$ у деякому околі точки p. Із цього запису отримується параметричний запис образу при відображенні Гауса N(u,v). Продиференціювавши рівність (N(u,v),N(u,v)) = 1 по u і v, отримаємо $2\left({\mathrm {d} \mathrm {N} \over \mathrm {d} u},\mathrm {N} \right)=2\left({\mathrm {d} \mathrm {N} \over \mathrm {d} v},\mathrm {N} \right)=0$ тобто вектори ${d\mathrm {N} \over du}$ і ${\mathrm {d} \mathrm {N} \over \mathrm {d} v},$ а отже і дотична площина є ортогональними до N. Це ж справедливо за означенням і на площині S. Оскільки площини $T_{\mathrm {N} (p)}\mathbb {S} ^{2}$ і $T_{p}S$ є ортогональними до одного вектора, то вони є паралельними.

Таким чином вектори на цих двох площинах можна ототожнити і вважати відображення Вейнгартена лінійним відображенням на $T_{p}S$.

Для орієнтовної гіперповерхні у $\mathbb {R} ^{n}$(або, більш загально, орієнтовного підмноговида корозмірності 1 у диференційовному многовиді) теж можна ввести нормальне одиничне диференційовне векторне поле (таких варіантів знову ж буде 2). Тоді відображення, що кожній точці ставить у відповідність нормаль у точці називається відображенням Гауса. Воно є диференційовним і його диференціал називається відображенням Вейнгартена.

Властивості

• У локальних координатах $S=S(u,v)$ позначаючи $S_{u}={\mathrm {d} S \over du},\;S_{v}={\mathrm {d} S \over dv}$ відображення Гауса можна задати як $\mathrm {N} (p)={\frac {S_{u}\times S_{v}}{|S_{u}\times S_{v}|}}.$ Звідси очевидною є диференційовність відображення. Даний запис можна подати для довільної регулярної поверхні тому для кожної такої поверхні відображення Гауса існує локально. Але глобально його можна ввести лише для орієнтовних поверхонь.
• Для відображення Вейнгартена $\mathrm {d} _{p}\mathrm {N} (S_{u})=\mathrm {N} _{u},\;\mathrm {d} _{p}\mathrm {N} (S_{v})=\mathrm {N} _{v}.$
• Диференціал $\mathrm {d} _{p}\mathrm {N}$ (якщо його, як вище, розглядати як лінійне відображення на $T_{p}S$) є самоспряженим на $T_{p}S$ щодо скалярного добутку успадкованого із $\mathbb {R} ^{3}$.

Згідно попередньої властивості достатньо довести, що $(\mathrm {N} _{u},S_{v})=(S_{u},\mathrm {N} _{v}).$ Для цього слід продиференціювати рівності $(\mathrm {N} ,S_{u})=0$ і $(\mathrm {N} ,S_{v})=0$ по v і u відповідно. Тоді $(\mathrm {N} _{v},S_{u})+(\mathrm {N} ,S_{uv})=0,\;\;(\mathrm {N} _{u},S_{v})+(\mathrm {N} ,S_{vu})=0$ і тому $(\mathrm {N} _{v},S_{u})=-(\mathrm {N} ,S_{uv})=(\mathrm {N} _{u},S_{v}).$

• За допомогою відображення Вейнгартена вводиться друга фундаментальна квадратична форма $II(X)=-(d_{p}\mathrm {N} (X),X).$ Згідно теореми Меньє значення другої фундаментальної форми на одиничному дотичному векторі X є рівним кривині нормального перетину поверхні S визначеному як перетин S і площини заданої векторами N(p) і X.
• Матриця відображення Вейнгартена у базисі $S_{u},S_{v}$ одержується транспонуванням матриці дериваційних формул Вейнгартена . А саме якщо $d_{p}\mathrm {N} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$ то $a_{11}={\frac {FM-GL}{EG-F^{2}}},\ a_{21}={\frac {FL-EM}{EG-F^{2}}},\ a_{12}={\frac {FN-GM}{EG-F^{2}}},\ a_{22}={\frac {FM-EN}{EG-F^{2}}}.$

У попередніх формулах $E=(S_{u},S_{u}),\ F=(S_{u},S_{v}),\ G=(S_{v},S_{v}),\$а також $L=-(\mathrm {d} \mathrm {N} (S_{u}),S_{u})=(\mathrm {N} ,S_{uu}),\ M=-(\mathrm {d} \mathrm {N} (S_{u}),S_{v})=(\mathrm {N} ,S_{uv}),\ N=-(\mathrm {d} \mathrm {N} (S_{v}),S_{v})=(\mathrm {N} ,S_{vv})$ і всі скалярні добутки розглядаються на дотичній площині у точці p.

• Якобіан відображення Гауса дорівнює гаусовій кривині поверхні в даній точці.
• Більш абстрактно можна дати означення відображення Вейнгартена через коваріантні похідні (афінні зв'язності). Дані означення мають зміст для евклідового простору будь-якої розмірності і є основою для подальших узагальнень зокрема у рімановій геометрії. У евклідовому просторі $\mathbb {R} ^{n}$ коваріантна похідна для диференційовних векторних полів X, Y в околі точки p задається як ${\bar {\nabla }}_{X}Y(p)=(Xy_{1},\ldots ,Xy_{n})(p),$ де у стандартному базисі друге векторне поле через координати записується як $Y=(y_{1},\ldots ,y_{n}),$ а $Xy_{i}$ позначає дію векторного поля X як диференціального оператора на функції $y_{i}.$ Значення ${\bar {\nabla }}_{X}Y$ в деякій точці p залежить лише від значення векторного поля X у цій точці, а також значення векторного поля Y на деякій прямій, що проходить через точку p і дотичний вектор якої в цій точці рівний X(p). Якщо $\alpha (t)\in \mathbb {R} ^{n},\;\alpha (0)=p,\;\alpha '(0)=X(p)$ — така крива то позначивши $Y(t)=(y_{1}(t),\ldots ,y_{n}(t))=Y(\alpha (t))$ отримаємо ${\bar {\nabla }}_{X}Y(p)=(y_{1}'(0),\ldots ,y_{n}'(0))(p).$ Звідси при тих же позначеннях для гіперповерхні у евклідовому просторі і нормального поля також випливає, що $\mathrm {d} _{p}\mathrm {N} (X)=\mathrm {N} (\alpha (t))_{t=0}'={\bar {\nabla }}_{X}\mathrm {N} .$

Таким чином для доведення властивостей відображення Вейнгартена також можна використовувати властивості коваріантних похідних. Для цього у випадку гіперповерхонь важливим є той факт, що нормальні і дотичні векторні поля N, X на околі точки p на гіперповерхні можна продовжити до векторних полів ${\bar {\mathrm {N} }},{\bar {X}}$ в околі цієї точки у евклідовому просторі.

Зокрема для доведення самоспряженості

$({\bar {\nabla }}_{X}\mathrm {N} ,Y)_{p}-(X,{\bar {\nabla }}_{Y}\mathrm {N} )_{p}=({\bar {\nabla }}_{\bar {X}}{\bar {\mathrm {N} }},{\bar {Y}})_{p}-({\bar {X}},{\bar {\nabla }}_{\bar {Y}}{\bar {\mathrm {N} }})_{p}=$

${\bar {X}}_{p}({\bar {\mathrm {N} }},{\bar {Y}})-({\bar {N}},{\bar {\nabla }}_{\bar {X}}{\bar {Y}})_{p}-{\bar {Y}}_{p}({\bar {\mathrm {N} }},{\bar {X}})+({\bar {\mathrm {N} }},{\bar {\nabla }}_{\bar {Y}}{\bar {X}})_{p}=$

$-({\bar {\mathrm {N} }},{\bar {\nabla }}_{\bar {X}}{\bar {Y}})_{p}+({\bar {\mathrm {N} }},{\bar {\nabla }}_{\bar {Y}}{\bar {X}})_{p}=({\bar {\mathrm {N} }},[{\bar {Y}},{\bar {X}}])_{p}=(\mathrm {N} _{p},[Y_{p},X_{p}])=0.$

Приклади

• Для площини заданої рівнянням $ax+by+cz+d=0$відображення Гауса є константою рівною $N={\frac {(a,b,c)}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.$ Відповідно відображення Вейнгартена є нульовим лінійним відображенням.
• Для одиничної сфери $\mathbb {S} ^{2}$ у точці $(x,y,z)$ одиничними нормальними векторами є $(x,y,z)$ і $-(x,y,z).$ Зазвичай обирається обернений нормальний вектор, тоді $\mathrm {N} (x,y,z)=(-x,-y,-z).$ Для відображення Вейнгартена $\mathrm {d} \mathrm {N} (x'(t),y'(t),z'(t))=\mathrm {N} '(t)=(-x'(t),-y'(t),-z'(t)),$ для будь-якої кривої $(x(t),y(t),z(t))$ і $\mathrm {N} (t)=\mathrm {N} (x(t),y(t),z(t))$на одиничній сфері. Тоді $\mathrm {d} _{p}\mathbb {S} ^{2}(v)=-v,\;v\in T_{p}\mathbb {S} ^{2}.$
• Для циліндра $C=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,|\,x^{2}+z^{2}=1\}$ у довільній точці дотична площина задається векторами v паралельним осі z і w, що є дотичним до кола $\{(x,y,z_{0})\in \mathbb {R} ^{3}\,|\,x^{2}+z^{2}=1\}$, що проходить через цю точку. Подібно до попереднього прикладу $\mathrm {N} (x,y,z)=(-x,-y,0)$ і для введених базисних векторів дотичної площини $\mathrm {d} _{p}C(v)=0,\;\mathrm {d} _{p}C(w)=-w.$

Див. також

• Дериваційні формули Вейнгартена
• Друга квадратична форма
• Поверхня
• Теорема Меньє

Література

• Carmo, Manfredo Perdigão do (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212589-7.
• Hicks, Noel (1965), Notes on Differential Geometry, Van Nostrand, Princeton, N. J, ISBN 0442034105
• Kuhnel, Wolfgang (2005), Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds (вид. 2nd), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3988-1