Гіперболічна множина

У теорії динамічних систем кажуть, що дифеоморфізм $f$ многовиду $M$ гіперболічний на інваріантній множині $\Lambda$, якщо дотичне розшарування над $\Lambda$ допускає неперервний розклад у пряму суму,

$T_{\Lambda }M=E^{u}\oplus E^{s},$

причому підрозшарування $E^{u}$ і $E^{s}$ інваріантні відносно динаміки, та вектори $E^{u}$ розтягуються, а вектори $E^{s}$ стискаються під дією динаміки:

$\|f^{n}(v)\|\leq c_{1}\,\lambda ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{s},$

$\|f^{n}(v)\|\geq c_{2}\,\mu ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{u},$

де $c_{1},c_{2}>0$ і $\mu >1>\lambda >0$ — сталі.

Також у цьому випадку кажуть, що $\Lambda$ — гіперболічна інваріантна множина відображення $f$.

Лінійні системи

Лінійну систему звичайних диференціальних рівнянь називають гіперболічною, якщо всі її власні значення (загалом, комплексні) мають відмінні від нуля дійсні частини.

Див. також

• Гіперболічна нерухома точка
• Дифеоморфізм Аносова
• Підкова Смейла

Література

• Каток А. Б., Хассельблат Б.. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М. : МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.