Дифеоморфізм Аносова

У теорії динамічних систем, галузі математики, дифеоморфізми Аносова — введений Д. В. Аносовим клас відображень з хаотичною динамікою, динаміка яких стійка відносно малих збурень.

Визначення

Дифеоморфізм $f:M\rightarrow M$ — дифеоморфізм Аносова, якщо він гіперболічний на всьому многовиді M. А саме, існує розклад дотичного розшаровання TM у пряму суму двох неперервних підрозшаровань, E^u і E^s, інваріантний відносно динаміки, причому на E^u динаміка експоненційно розтягує, а на E^s — експоненційно стискає:

$\|f^{n}(v)\|\leq c_{1}\,\lambda ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{s},$

$\|f^{n}(v)\|\geq c_{2}\,\mu ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{u},$

де $c_{1},c_{2}>0$ і $\mu >1>\lambda >0$ — сталі.

Властивість

• Дифеоморфізми Аносова структурно стійкі: для будь-якого аносівського дифеоморфізму f існує такий його окіл у просторі дифеоморфізмів класу C¹, будь-який дифеоморфізм g з якого спряжений з f деяким гомеоморфізмом h:

$f\circ h=h\circ g.$

Іншими словами, Динаміка малого збурення f відрізняється від самого f тільки заміною координат (правда, лише неперервною!).

• Частину визначення, що стосується розтягування, можна переписати як стиснення в зворотному часі:

$\|f^{-n}(v)\|\leq c_{3}\,\mu ^{-n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{u}.$

Приклад

Найвідомішим прикладом дифеоморфізму Аносова є дія відображення $\left({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right)$ на двовимірному торі $\mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$.

Загальніше, якщо матриця $A\in SL_{n}(\mathbb {Z} )$ не має власних значень, рівних за модулем одиниці, то спуск дії $A$ на тор $\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$ (коректно визначений, оскільки $A$ зберігає $\mathbb {Z} ^{n}$) буде дифеоморфізмом Аносова.

Див. також

• Атрактор Пликіна

Література

• В. И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М. : Наука, 1978.
• Каток А. Б., Хассельблат Б.. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М. : МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.