Гіперкульовий сегмент

Приклад тримірного кульового сегмента (прозора частина). Решта частина кулі є другим кульовим сегментом.

Гіперкульовий сегмент - вибрана частина гіперкулі, за перерізу гіперплощиною, або сегмент гіперсферичної поверхні. Термін поєднує залежності пов'язані з алгебраїчним узагальненням рівнянь сфери та площини для довільної вимірності.

Відповідно не є геометричним об'єктом, але містить загальні властивості цілої групи геометричних об'єктів. Якщо геометричне тіло не має самостійної назви, чи вказується зв'язок із узагальненням, для його позначення додають значення вимірності відкидаючи префікс гіпер.

Гіперсферичний сегмент - гіперповерхня сферичної частини кульового сегмента.

Алгебраїчно фігура задається трьома параметрами, часто два з яких є геометричними а третій є вимірністю простору.

Кутові параметри

Просторова вимірність кутових параметрів складна, але їх можна цілісно виділити як незалежні у просторі параметрів.

$\cos(\theta )={\frac {r-h}{r}}=\left(1-\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=t$

$a={\sqrt {h(2r-h)}}=r{\sqrt {1-t^{2}}}=r|\sin(\theta )|$

В двомірному випадку є простий зв'язок з об'ємом сектора та його конічною частиною $\textstyle V_{dome}=V_{sector}-V_{cone}$, $\textstyle V_{cone}(r,h,n)={\tfrac {r-h}{n}}S_{base}$.

$n=2,~V_{dome}=r^{2}\theta -a(r-h)$

У тримірному, простий зв'язок є з супровідними тригонометричними функціями. Для більших вимірностей простору такий зв'язок менш очевидний, через те що подобою кута в радіанах є узагальнений стерадіан, який пов'язаний із плоским аналогом більш складно.

Лінійні параметри

• Радіус гіперсферичного сегмента $r$ - радіус гіперсфери якій належить його поверхня.
• Основа гіперкульового сегмента — куля попередньої вимірності з радіусом $a={\sqrt {h(2r-h)}}$, що належить площині перерізу.
• Висота гіперкульового сегмента $h$ — найменша відстань між дотичними до нього паралельними гіперплощинами, дорівнює довжині сегменту прямої що нормально проходить через центр основи.

Об'єм

Вирази через радіус гіперсферичного сегмента $r$ та висоту $h$, для евклідового простору вимірності $n$:

За обмеження аргумента виразу по висоті, отримання значень в необхідному діапазоні досягається заміною $\textstyle h_{s}\to 2r-h$ та $\textstyle V_{dome}(r,h,n)\to V_{ball}(r,n)-V_{dome}(r,h_{s},n)$.

З використанням спеціальних функцій

гіпергеометричної функції ${}_{2}F_{1}$, чи регуляризованої неповної бета-функції $I_{x}(a,b)$:

$V_{dome}(r,h,n)={\frac {1}{2}}V_{ball}(r,n)I_{\sin ^{2}\theta }\left({\tfrac {n+1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)=rV_{ball}(a,n-1)\left({\,}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {n-1}{2}};{\tfrac {n+1}{2}};\left({\tfrac {a}{r}}\right)^{2}\right)-\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)\right)$

де $r\geqslant h$, $\textstyle V_{ball}(r,k)={\frac {r^{k}\pi ^{k/2}}{\Gamma \left(k/2+1\right)}}$, $\Gamma$ (гамма-функція), $\textstyle \sin ^{2}\theta =\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}={\frac {h(2r-h)}{r^{2}}}$, $\textstyle a={\sqrt {h(2r-h)}}$

або без обмежень по висоті:

$V_{dome}(r,h,n)=V_{ball}(r,n)\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\tfrac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma \left(1+{\tfrac {n}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}{\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)$

За наявності алгебраїчних функцій у розрахунках, вирази корисні можливістю точно оцінювати залежності, в тому числі за інтегрування чи диференціювання. Розрахунково, відстань у декілька ланок операторів від бібліотечних функцій з точністю останнього біта, кінцевий вираз робить якісною апроксимацією. Але попри те інколи достатні більш прості наближення чи менші необхідні можливості.

Через кінцеву ітерацію

за $\textstyle k={\tfrac {n-mod(n,2)}{2}}$ кроків, $\textstyle F(m,t)=\int \limits _{t}^{1}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}dx$:

Алгебраїчна форма

обмеження	кроки	вираз	параметри
$n\geqslant 1$	кінцевий	$V_{dome}(r,h,n)=rV_{ball}(r,n-1)F(n-1,t)$	$p=mod(n-1,2)$, $t=\cos(\theta )={\tfrac {r-h}{r}}$
$i\geqslant -1$	$k$	$F(i+2,t)={\tfrac {1}{i+3}}\left((i+2)F(i,t)-t\left(1-t^{2}\right)^{\frac {i+2}{2}}\right)$	$F(-p,t)={\begin{cases}1-t&p=0\\\arccos(t)&p=1\end{cases}}$
$i\geqslant 0$	$k-p$	$V_{ball}(r,i+2)={\tfrac {2\pi r^{2}}{i+2}}V_{ball}(r,i)$	$V_{ball}(r,p)={\begin{cases}1&p=0\\2r&p=1\end{cases}}$

"Гонча" серед загальних виразів для невеликих значень вимірності, мінімальні вимоги до оперативної пам'яті та елементарні оператори, але попри те що має характер схильний до представлення добутком, тобто заявку на точність, містить в тілі ітерації сумування яке суттєво її зменшує, тому за "великих дистанцій", розрізнює тільки "головну доріжку" - залежність від вимірності. Оскільки вираз для ітерації нескладно перевести в диференціальний вигляд, є корисним "на швидкості" тобто за аналізу поведінки похідних.

За алгебраїчного використання недоліків пов'язаних із розрахунковою помилкою немає. Допускає незначне прискорення за узгодження початкових значень вимірності.

Приклад створеного виразу для частини залежної від висоти, у шестивимірному просторі $n=6,~k=3,~p=1$:

$\textstyle F(n-1,t)={\tfrac {1}{6}}\left(-t(1-t^{2})^{\tfrac {5}{2}}+{\tfrac {5}{4}}\left(-t(1-t^{2})^{\tfrac {3}{2}}+{\tfrac {3}{2}}\left(-t(1-t^{2})^{\tfrac {1}{2}}+\arccos(t)\right)\right)\right)$.

Через кінцеві суми

У замкненій формі. Cумування для чисельних розрахунків, через зменшення помилки починається з малих доданків, що подвоює порівняно з прямим порядком кількість операцій, та потребує додаткової оперативної пам'яті через використання масивів. Або за оптимізації по розміру, зводить складність обрахунку до квадратичної.

$V_{dome}(r,h,n)={\begin{cases}\pi ^{k-1}r^{2k}\left({\tfrac {\arccos(t)}{k!}}-{\tfrac {2^{k}{\sqrt {1-t^{2}}}}{(2k-1)!!}}\sum _{i=0}^{k-1}(-1)^{i}\alpha _{i}t^{2i+1}\right)&p=0,~k\geqslant 1\\\pi ^{k}r^{2k+1}\left({\tfrac {2^{k}}{(2k+1)!!}}-{\tfrac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}{\tfrac {(-1)^{i}t^{2i+1}}{2i+1}}\right)&p=1,~k\geqslant 0\end{cases}}$

$\textstyle n\geqslant 1,~k={\frac {n-p}{2}},~p=mod(n,2),~t=\cos(\theta )={\tfrac {r-h}{r}},~\alpha _{i}>0,~{\binom {k}{i}}={\begin{cases}{\frac {k(k-1)(k-2)\cdot \ldots \cdot (k-i+1)}{i!}}&i\geqslant 1\\1&i=0\end{cases}}$ - біноміальний коефіцієнт.

• Для парних вимірностей значення коефіцієнтів $\alpha _{i}$ можна отримати ітерацією $\textstyle \alpha _{i+1}={\tfrac {{\binom {k}{i+1}}-(2i+2)\alpha _{i}}{2i+3}}$, $\textstyle \alpha _{0}=1-{\tfrac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}$. Для оберненого сумування $\textstyle \alpha _{i-1}={\tfrac {{\binom {k}{i}}-(2i+1)\alpha _{i}}{2i}}$, перший коефіцієнт має простий вигляд $\textstyle \alpha _{k-1}={\tfrac {1}{2k}}$. Зв'язок слідує із умови рівності похідних розрахункового та інтегрального виразів для об'єму $\textstyle (1-t^{2})^{k}={\tfrac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}-tS(t)+(1-t^{2}){\frac {dS(t)}{dt}}$, $\textstyle S(t)=\sum _{i=0}^{k-1}(-1)^{i}\alpha _{i}t^{2i+1}$. Вираз вираз можна узагальнити для об'єму нульової вимірності $\textstyle n=0,~p=0,~k=0,~S(t)=0,~V_{dome}(r,t,n)={\frac {\arccos(t)}{\pi }}$. Мінімальна складність через отримання коефіцієнтів ітерацією - подвійна.

• Для непарних вимірностей, за швидкого оцінкового розрахунку чи аналітичних виразів доречно використовувати прямий порядок. Для оберненого порядку аргумент суми інваріантний відносно заміни граничних значень індекса $\textstyle \sum _{i=0}^{k}=\sum _{i=k}^{0}$.

Метод є компромісом між ітераційним шляхом та спеціальними функціями, через близькість до параметрів дозволяє робити аналітичні висновки в областях де спеціальні функції малодосліджені, та має меншу порівняно із ітераційним методом складність кінцевого алгебраїчного виразу.

Приклад створеного виразу, у шестивимірному просторі $n=6,~k=3,~p=0$:

$\textstyle V_{dome}(r,t,n)=\pi ^{2}r^{6}\left({\frac {\arccos(t)}{6}}-{\frac {8{\sqrt {1-t^{2}}}}{15}}\left({\frac {11}{16}}t-{\frac {13}{24}}t^{3}+{\frac {1}{6}}t^{5}\right)\right)$.

Рекурентний зв'язок

- в явному вигляді, походить з ітераційного розрахунку:

$V_{dome}(r,t,i+2)={\tfrac {2\pi r^{2}}{i+2}}\left(V_{dome}(r,t,i)-{\tfrac {rV_{ball}(r,i-1)}{(i+1)}}t\left(1-t^{2}\right)^{\frac {i+1}{2}}\right)$

де $i\geqslant 1,~t=\cos(\theta )={\tfrac {r-h}{r}},~V_{ball}(r,0)=1$

- між сусідніми вимірностями, пірамідне інтегрування через основу:

$V_{dome}(r,h,i)=\int \limits _{0}^{2a}V_{dome}\left(r(x),h(x),i-1\right)dx$

де $\textstyle i\geqslant 1,~r\geqslant h,~r(x)=r{\sqrt {1-\left({\frac {a-x}{r}}\right)^{2}}},~h(x)=r(x)-(r-h),~a={\sqrt {h(2r-h)}}$

Інтегральна форма

За алгебраїчного використання, коли вираз є проміжним, чи для ілюстрації залежності від параметрів:

• інтегрування через основу, циліндричне

$V_{dome}(r,h,n)=r\,(n-1)\,V_{ball}(1,n-1)\int \limits _{0}^{a}x^{n-2}\left(\left(1-\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}-\left(1-\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\right)dx$

де $\textstyle a=r{\sqrt {1-t^{2}}}$, $\textstyle t=\cos(\theta )={\frac {r-h}{r}}=\left(1-\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$.

• інтегрування через висоту, пірамідне

$V_{dome}(r,h,n)=\int \limits _{r-h}^{r}V_{ball}\left(a(x),n-1\right)dx=r\,V_{ball}(r,n-1)\int \limits _{t}^{1}(1-x^{2})^{\frac {n-1}{2}}dx$

де $\textstyle a(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$, $\textstyle t=\cos(\theta )={\frac {r-h}{r}}$.

• інтегрування через кут

$V_{dome}(r,h,n)=r\,V_{ball}(r,n-1)\int \limits _{0}^{\theta }\sin ^{n}\phi \,d\phi$

де $\textstyle \cos(\theta )={\frac {r-h}{r}}$.

Асимптотична поведінка, зв'язок із площею

Оцінки нормованого об'єму сегмента: $\scriptstyle {\frac {(1-t^{2})^{n/2}}{\sqrt {2\pi n}}}$ та $\scriptstyle {\frac {1}{2}}-t{\sqrt {\frac {n}{2\pi }}}$.

За нескінченної вимірності, поведінка нормованого об'єму сферичного сегмента подібна до сходинкової функції Гевісайда $\scriptstyle H(x)={\frac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}}$, за сталих висоти та радіуса сферичної поверхні:

$\lim _{n\to \inf }{\frac {V_{dome}(r,h,n)}{V_{ball}(r,n)}}={\begin{cases}0&0<h<r,\\1&r<h<2r\end{cases}}$, за тотожності з півкулею $h=r$ завжди $\textstyle 1/2$.

Характер наближення для малих висот - швидший за показниковий, у точках максимальної кривини збіжність значно менша - ступенева.

Для малих значень висоти, верхня $t>0$, або нижня $t<0$ межа:

${\frac {V_{dome}}{V_{ball}}}={\frac {1-\operatorname {sgn}(t)}{2}}+{\frac {(1-t^{2})^{n/2}}{\operatorname {sgn}(t){\sqrt {2\pi n}}}}$, $\scriptstyle \operatorname {sgn}(t)={\frac {t}{|t|}},~t=\cos(\theta )={\frac {r-h}{r}},~n>2,~|t|>0,7$.

Яка за незначних змін, може застосовуватись для більшого діапазону висот в об'єднаній оцінці.

Точки максимальної кривини нормованого об'єму, верхня оцінка: $\textstyle t=\pm {\sqrt {\frac {\ln(n)}{n}}}$, $\scriptstyle t=\cos(\theta )$, $\textstyle n>10$.

Оцінка досить груба для малих вимірностей, тому обмежена як апроксимація та є радше теоретичною. Наприклад з її допомогою можна обґрунтовувати подібність поведінки нормованого об'єму сферичного сегмента до сходинкової функції. Оскільки за великої вимірності кривина показує наявність "точок зламу" біля тотожності з півкулею $\textstyle {\frac {1}{R}}\to {\frac {2\pi {\sqrt {n\ln(n)}}}{(1+2\pi )^{3/2}}}$, які знаходяться в нулі $\textstyle {\frac {V_{dome}}{V_{ball}}}\to {\frac {1}{\sqrt {2\pi n\ln(n)^{1/2}}}}$ або одиниці. Центр кривини, як і більш точні позицію та радіус краще отримувати безпосередньо, межеве значення похідної показує принципово не нульове або не нескінченне значення: $\textstyle {\frac {d}{dt}}{\frac {V_{dome}}{V_{ball}}}\to {\frac {-1}{\sqrt {2\pi }}}$, тобто знаходження в "області зламу".

Безпосередньо позиція може бути визначена через значущу частину похідної кривини по косинусу:

$\textstyle f=\left(\pi \left(t^{2}(n-2)-1\right)-(1-t^{2})^{n-1}\left(1+t^{2}(2n-1)\right)\left({\frac {\Gamma (1+n/2)}{\Gamma ((1+n)/2)}}\right)^{2}\right)=0,~n>2$

За використання граничних переходів $\scriptstyle {\frac {\Gamma (1+n/2)}{\Gamma ((1+n)/2)}}\to {\sqrt {\frac {n}{2}}},~(1-x^{2})^{n}\to \exp(-nx^{2})$, отримуються вирази що також походять з $\textstyle \operatorname {erf}$ апроксимації. Де взявши похідну по вимірності $\scriptstyle {\partial f \over \partial n}$ від виразу для позиції $\scriptstyle f(n,nt^{2})=(n(1+2nt^{2})-2\pi \exp(nt^{2})(nt^{2}-1))=0$, та замінивши значення з експонентами із первинного, можна отримати зручне диференційне рівняння для допоміжного виразу $\textstyle nt^{2}$. Вибір допоміжного виразу пов'язаний із поведінкою другої похідної, позиція її максимума для апроксимації $\scriptstyle nt^{2}-1=0$ або $\scriptstyle (n-2)t^{2}-1=0$ для точного виразу. Розв'язком межевого диференційного рівняння є логарифмічна функція.

Поведінка біля тотожності з півкулею $t=0$, оцінка у формі апроксимації:

- Для верхньої межі $t>0$ можна користуватись обмеженням ступеня вираза розрахунку об'єма через суми, що тотожньо розкладу вираза з гіпергеометричною функцією:

$\textstyle {\frac {V_{dome}(r,h,n)}{V_{ball}(r,n)}}\xrightarrow {h\to r} \left({\frac {1}{2}}-{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\left(t-{\frac {n-1}{6}}t^{3}\right)\right){\xrightarrow[{n\gg 1}]{h\to r}}\left({\frac {1}{2}}-{\sqrt {\frac {n}{2\pi }}}\left(t-{\frac {n}{6}}t^{3}\right)\right)$

- Для нижньої $t>0$ лінійної оцінки достатньо відкинути доданок із кубічною залежністю, тоді її крайні межі: $\scriptstyle 1-{\sqrt {\frac {\pi }{2n}}}<{\frac {h}{r}}<1+{\sqrt {\frac {\pi }{2n}}}$ або $\scriptstyle |t|<{\sqrt {\frac {\pi }{2n}}},~n\gg 1$.

Апроксимація, поведінку біля тотожності з півкулею за великих вимірностей добре описує наближення через стандартний нормальний розподіл, яке можна виразити через функцію помилок $\textstyle \operatorname {erf}$,:

Апроксимація нормованого об'єму, $\textstyle erf$, та її оцінка $\textstyle {\frac {\exp(-t^{2}n/2)}{t{\sqrt {2\pi n}}}}$.

$V_{dome}(r,t,n)={\frac {1}{2}}V_{ball}(r,n)\left(1-\operatorname {erf} (t{\sqrt {n/2}})\right)$, $\scriptstyle erf(z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}\exp(-x^{2})dx,~t=\cos(\theta )={\frac {r-h}{r}},~n>10$

з апроксимації походить проста верхня межа $\textstyle t>0$:

$\textstyle {\frac {V_{dome}}{V_{ball}}}={\frac {1-\operatorname {sgn}(t)}{2}}+{\frac {\exp(-t^{2}n/2)}{t{\sqrt {2\pi n}}}}$

що добре працює біля нуля $\textstyle |t|<{\sqrt {\frac {\ln(n)}{n}}}$, але, як і саме наближення, значно завищує відносні значення за віддалення.

Об'єднана оцінка, вираз для малих висот може бути значно розширений по діапазону до меж лінійної оцінки біля тотожності з півкулею, зміною знаменника подібно до межі отриманої з $\textstyle \operatorname {erf}$ апроксимації:

${\frac {V_{dome}}{V_{ball}}}={\frac {1-\operatorname {sgn}(t)}{2}}+{\frac {(1-t^{2})^{n/2}}{t{\sqrt {2\pi n}}}}$, $\scriptstyle |t|>{\sqrt {\frac {\pi }{2n}}},~n>2$

Обидві оцінки нескладно отримати з інтегральної форми через висоту, перша є наслідком спрощення до функції обмеженого росту множника $\scriptstyle (1+x)=2$ в інтегральному виразі $\scriptstyle (1-x^{2})=(1-x)(1+x)\to 2(1-x)$ та відновленням форми після інтегрування, друга використовує визначення експоненти $\scriptstyle (1-x^{2})^{n}=(1-{\frac {nx^{2}}{n}})^{n}\to \exp(-nx^{2})$. Але їх очевидне поєднання, через подібність у висновках, стосується областей де не працюють припущення що з ними пов'язані, тому доведення справедливості дії об'єднаної оцінки потребує додаткових кроків.

Асимптотична поведінка площі, для сферичної частини сегмента $\scriptstyle S_{cup}$ подібна до об'єму $\scriptstyle V_{dome}$, що можна побачити з рекурентного зв'язку. Тому заміною відношень об'ємів у виразах на відношення площ $\scriptstyle V_{dome}/V_{ball}\to S_{cup}/S_{sphere}$ отримуються необхідні вирази.

Відмінності є в оцінці біля тотожності з півкулею для частини що пов'язана з невеликими значеннями вимірності, де за переходу потрібно провести додаткову заміну $\textstyle n\to n-2$, за тримірного та двомірного випадків можна користуватись точними чи похідними з них виразами. Алгебраїчно це пов'язано зі зміною поведінки гіпергеометричної функції, яка за додатних значень другого аргументу має вигляд нескінченного ряду замість кінцевих сум.

Площа

У просторі вимірності $n$, поверхня може бути представлена поєднанням $n$ мірного сферичного сегмента та поверхні основи, площа останньої $\textstyle S_{base}$ дорівнює об'єму відповідної кулі:

$S_{dome}=S_{cup}+S_{base}$, де $\textstyle S_{base}(r,h,n)=V_{ball}(a,n-1)$, $\textstyle V_{ball}(a,k)={\frac {a^{k}\pi ^{k/2}}{\Gamma \left(k/2+1\right)}}$, $\textstyle a={\sqrt {h(2r-h)}}=r\sin(\theta )=r{\sqrt {1-t^{2}}},~t=\cos(\theta )$.

За обмеження аргумента виразу по висоті, отримання значень в необхідному діапазоні досягається заміною $\textstyle h_{s}\to 2r-h$ та $\textstyle S_{cup}(r,h,n)\to S_{sphere}(r,n)-S_{cup}(r,h_{s},n)$.

Інколи можна зустріти позначення площі поверхні з прив'язкою до лінійної вимірності, але це є неоднозначним, оскільки не вироджена до площини поверхня має додаткову параметричну інформацію та в просторі параметрів має вимірність геометричного простору якому вона належить. Перехід до залежності від лінійних параметрів є граничним, і тільки у спеціальних випадках простим.

З використанням спеціальних функцій

гіпергеометричної функції ${}_{2}F_{1}$, чи регуляризованої неповної бета-функції $I_{x}(a,b)$:

$S_{cup}(r,h,n)={\frac {1}{2}}S_{sphere}(r,n)I_{\sin ^{2}\theta }\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)=V_{ball}(a,n-1){\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {n-1}{2}};{\tfrac {n+1}{2}};\left({\tfrac {a}{r}}\right)^{2}\right)$

де $r\geqslant h$, $\textstyle \sin ^{2}\theta =\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}={\frac {h(2r-h)}{r^{2}}}$, $\textstyle S_{sphere}(r,k)={\frac {k}{r}}V_{ball}(r,k)={\frac {2\pi ^{k/2}r^{k-1}}{\Gamma (k/2)}}$ - площа гіперсфери.

або без обмежень по висоті:

$S_{cup}(r,h,n)=S_{sphere}(r,n)\left({\frac {1}{2}}-{\tfrac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma \left({\tfrac {n}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({\tfrac {n-1}{2}}\right)}}{\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)$

Через кінцеву ітерацію

За $\textstyle k={\tfrac {n-mod(n,2)}{2}}$ кроків, $\textstyle F(m,t)=\int \limits _{t}^{1}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}dx$:

Алгебраїчна форма

обмеження	кроки	вираз	параметри
$n\geqslant 2$	кінцевий	$S_{cup}(r,h,n)=(n-1)\,V_{ball}(r,n-1)F(n-3,t)$	$p=mod(n-1,2)$, $t=\cos(\theta )={\tfrac {r-h}{r}}$
$i\geqslant -1$	$k-1$	$F(i+2,t)={\tfrac {1}{i+3}}\left((i+2)F(i,t)-t\left(1-t^{2}\right)^{\frac {i+2}{2}}\right)$	$F(-p,t)={\begin{cases}1-t&p=0\\\arccos(t)&p=1\end{cases}}$
$i\geqslant 0$	$k-p$	$V_{ball}(r,i+2)={\tfrac {2\pi r^{2}}{i+2}}V_{ball}(r,i)$	$V_{ball}(r,p)={\begin{cases}1&p=0\\2r&p=1\end{cases}}$

Ітераційні частини є такими самими як і для об'єму, відмінності: частково у кількості кроків, мінімальній вимірності та кінцевому виразі.

Коли додатково необхідно розраховувати площу основи, більш оптимальним є розрахунок одиничної кулі, з використанням її об'єму як множника з радіусами сферичного сегмента та основи $\textstyle V_{ball}(x,m)=V_{ball}(1,m)\,x^{m}$. В будь якому разі не варто очікувати високу продуктивність на великих вимірностях, де зведення до ступеню у бібліотечних функціях реалізовано змінним бітовим зсувом а факторіали обраховуються за формулою Стірлінга, кінцеве ж значення просто узгоджується налаштованим градієнтним спуском чи методом Ньютона. Перевага простоти у "дешевизні останнього значущого біта" який можна отримувати прямо з виразу без додаткових узгоджень, але "ціною" звуження області значень вхідних параметрів.

Через кінцеві суми

У замкненій формі. Має такі ж зауваження щодо порядку сумування як і для об'єму.

$S_{cup}(r,h,n)={\begin{cases}2\pi ^{k}r^{2k+1}\left({\tfrac {\arccos(t)}{k!}}-{\tfrac {2^{k}{\sqrt {1-t^{2}}}}{(2k-1)!!}}\sum _{i=0}^{k-1}(-1)^{i}\alpha _{i}t^{2i+1}\right)&p=0,~k\geqslant 1\\2\pi ^{k+1}r^{2(k+1)}\left({\tfrac {2^{k}}{(2k+1)!!}}-{\tfrac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}{\tfrac {(-1)^{i}t^{2i+1}}{2i+1}}\right)&p=1,~k\geqslant 0\end{cases}}$

$\textstyle n\geqslant 3,~k={\frac {n-p-2}{2}},~p=mod(n,2),~t=\cos(\theta )={\tfrac {r-h}{r}}~\alpha _{i}>0,$, $\textstyle {\binom {k}{i}}={\begin{cases}{\frac {k(k-1)(k-2)\cdot \ldots \cdot (k-i+1)}{i!}}&i\geqslant 1\\1&i=0\end{cases}}$ - біноміальний коефіцієнт.

• Для парних вимірностей значення коефіцієнтів $\alpha _{i}$ можна отримати ітерацією $\textstyle \alpha _{i+1}={\tfrac {{\binom {k}{i+1}}-(2i+2)\alpha _{i}}{2i+3}}$, $\textstyle \alpha _{0}=1-{\tfrac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}$. Для оберненого сумування $\textstyle \alpha _{i-1}={\tfrac {{\binom {k}{i}}-(2i+1)\alpha _{i}}{2i}}$, перший коефіцієнт має простий вигляд $\textstyle \alpha _{k-1}={\tfrac {1}{2k}}$. Зв'язок слідує із умови рівності похідних розрахункового та інтегрального виразів для площі $\textstyle (1-t^{2})^{k}={\frac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}-tS(t,k)+(1-t^{2}){\frac {dS(t,k)}{dt}}$, $\textstyle S(t,k)=\sum _{i=0}^{k-1}(-1)^{i}\alpha _{i}t^{2i+1}$. Через складну поведінку оператора суми для від'ємних граничних значень індекса, в загальному виразі обмежена мінімальна вимірність, але за потреби її можна доповнити явно $\textstyle n=2,~p=0,~k=0,~S(t,k)=0,~S_{cup}(r,t,n)=2r\arccos(t)$, наприклад через додаткову вхідну перевірку. Мінімальна складність через отримання коефіцієнтів ітерацією - подвійна.

• Для не парних вимірностей, з оберненим порядком сумування, її аргумент інваріантний відносно заміни граничних значень індекса $\textstyle \sum _{i=0}^{k}=\sum _{i=k}^{0}$.

Рекурентний зв'язок

- в явному вигляді, походить з ітераційного розрахунку:

$S_{cup}(r,t,i+2)={\tfrac {2\pi r^{2}}{i}}\left(S_{cup}(r,t,i)-t\left(1-t^{2}\right)^{\frac {i-1}{2}}V_{ball}(r,i-1)\right)={\tfrac {2\pi r^{2}}{i}}\left(S_{cup}(r,t,i)-tS_{base}(r,t,i)\right)$

де $i\geqslant 2,~t=\cos(\theta )={\tfrac {r-h}{r}}$, $\textstyle S_{base}(r,t,n)=V_{ball}(a,n-1)$, $\textstyle a=r{\sqrt {1-t^{2}}}$.

Для площі основи вираз походить з рекурентного зв'язку об'ємів кулі:

$S_{base}(r,t,i+2)={\tfrac {2\pi r^{2}}{i+1}}S_{base}(r,t,i)$

Інтегральна форма

• інтегрування через основу, циліндричне

$S_{cup}(r,h,n)=(n-1)V_{ball}(1,n-1)\int \limits _{0}^{a}x^{n-2}\left(1-\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}dx$

де $r\geqslant h$, $\textstyle a={\sqrt {h(2r-h)}}=r{\sqrt {1-t^{2}}}$, $\textstyle t=\cos(\theta )={\frac {r-h}{r}}=\left(1-\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$.

• інтегрування через висоту

$S_{cup}(r,h,n)=(n-1)\,V_{ball}(r,n-1)\int \limits _{t}^{1}(1-x^{2})^{\frac {n-3}{2}}dx$

де $\textstyle t=\cos(\theta )={\frac {r-h}{r}}$.

• інтегрування через кут

$S_{cup}(r,h,n)=(n-1)\,V_{ball}(r,n-1)\int \limits _{0}^{\theta }\sin ^{n-2}\phi \,d\phi$

де $\textstyle \cos(\theta )={\frac {r-h}{r}}$.

Зв'язок із об'ємом

походить з порівняння ітераційних форм:

$V_{dome}={\frac {r}{n}}\left(S_{cup}-t\left(1-t^{2}\right)^{\frac {n-1}{2}}V_{ball}(r,n-1)\right)={\frac {r}{n}}\left(S_{cup}-t\,S_{base}\right)={\frac {r}{n}}\left(S_{dome}-(1+t)S_{base}\right)$

де $n\geqslant 2$, $S_{cup}=S_{dome}-S_{base}$, $\textstyle S_{base}=V_{ball}(a,n-1)$, $\textstyle a={\sqrt {h(2r-h)}}=r{\sqrt {1-t^{2}}}$, $\textstyle t=\cos(\theta )={\frac {r-h}{r}}$

за використання рекурентного зв'язку:

$S_{cup}(r,h,n+2)=2\pi r\,V_{dome}(r,h,n)$

де $\textstyle n\geqslant 0,V_{dome}(r,t,0)={\frac {\arccos(t)}{\pi }}$, рекурентність підтверджує те що двомірність для поверхні є межевою, тобто менші вимірності пов'язані із другою групою аксіом, алгеброю, де об'єкт лише частково пов'язаний із геометричним. Доповнення значення для нуль вимірності розглянуто в розділі розрахунку об'єму через суми.

Асимптотична поведінка сферичної частини сегмента подібна об'єму, так як для сфери та кулі справедливий такий самий рекурентний зв'язок $\scriptstyle S_{sphere}(r,n+2)=2\pi r\,V_{ball}(r,n)$, за великих значень вимірності $\textstyle n\gg 1$ їх відношення тотожні $\textstyle S_{cup}/S_{sphere}\to V_{dome}/V_{ball}$, а для малих значень достатньо зробити заміну $n\to n-2$ в об'ємній частині.

Зв'язок із іншими фігурами

Об'єм гіперкульового сектора можна отримати через площу сферичного сегмента:

$V_{sector}={\frac {S_{cup}(r,h,n)}{S_{sphere}(r,n)}}V_{ball}(r,n)$, $\textstyle V_{ball}(r,n)={\frac {r^{n}\pi ^{n/2}}{\Gamma \left(n/2+1\right)}}$, $\textstyle S_{sphere}(r,n)={\frac {2\pi ^{n/2}r^{n-1}}{\Gamma (n/2)}}={\frac {n}{r}}V_{ball}(r,n)$

Так як об'єм сектора складається з об'ємів конічної частини та сегмента, $\textstyle V_{dome}+V_{cone}=V_{sector}$, $\textstyle V_{cone}={\frac {r-h}{n}}S_{base}$, $\textstyle r>h$, можна більш цілісно записати вираз для зв'язку об'єму гіперкульового сегмента та площі його сферичної частини :

$\textstyle V_{dome}+V_{cone}=V_{dome}+{\frac {r-h}{n}}S_{base}={\frac {r}{n}}S_{cup}=V_{sector}$

Узгодженість математичного терміну округлення

Якщо представляти відрізок послідовністю одномірних куль, то округлення веде себе подібно послідовності нескінченно вимірних, через асимптотичну поведінку нормованого об'єму сегмента, зв'язок із похибкою пов'язаний із апроксимацію через функцію помилок. Тобто термін округлення математично узгоджений з поведінкою нормованого об'єму гіперкульового сегмента у гіперпросторі.

Розвиток термінології як і наукових напрямків пов'язаний з академічністю, де доказовість це оператор що застосовується до множини аксіом, вибір останніх пов'язаний із аксіоматичним методом, що за спрощеного тлумачення стосовно термінології, вимагає найбільшого узгодження серед наукових та других напрямків видів діяльності.

Див. також

• Кульовий сегмент
• Кульовий сектор
• Кульовий шар
• Сферичний сегмент
• Сферична оболонка