Гіпоеліптичний оператор

Гіпоеліптичний оператор — диференціальний оператор у частинних похідних, фундаментальний розв'язок якого належить класу $C^{\infty }$ у всіх точках простору, крім початку координат.

Визначення

Нехай $P(\xi )$ — дійсний поліном від змінних $\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}):$

$P(\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}},$

де $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {Z} _{+}^{n}$ і $|\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$.

Узагальнена функція ${\mathcal {E}}(x)$ називається фундаментальним розв'язком диференціального оператора $P(D)$, якщо вона є розв'язком рівняння $P(D){\mathcal {E}}(x)=\delta (x),$ де $\delta (x)$ — дельта-функція Дірака. Оператор $P(D)$ називають гіпоеліптичним, якщо ${\mathcal {E}}(x)$ належить класу $C^{\infty }$ за всіх $x\neq 0$.

$P(D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }D^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }{\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},$

Визначимо відповідний диференціальний оператор:

$D=(D_{1},\ldots ,D_{n}),\quad D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}},\quad j=1,\ldots ,n.$

де

Властивості

Як визначення гіпоеліптичного оператора часто використовують такий критерій гіпоеліптичності:

Теорема 1. Оператор $P(D)$ є гіпоеліптичним тоді й лише тоді, коли для будь-якої відкритої ділянки $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ будь-який розв'язок $u(x)$ (узагальнена функція) рівняння $P(D)\,u(x)=f(x),\quad x\in U,$ з будь-якою правою частиною $f\in C^{\infty }(U)$ також належить класу $u\in C^{\infty }(U).$

Також Германдер встановив такий алгебричний критерій гіпоеліптичності:

Теорема 2. Оператор $P(D)$ є гіпоеліптичним тоді й лише тоді, коли ${\frac {P^{(k)}(-i\xi )}{P(-i\xi )}}\,\to \,0,\quad \ |\xi |\to \infty ,$ для всіх $k=(k_{1},\ldots ,k_{n})\in \mathbb {Z} _{+}^{n},\,\ |k|\geq 1,$ де $i$ — уявна одиниця.

Приклади

• Будь-який еліптичний оператор є гіпоеліптичним, наприклад, оператор Лапласа.
• Оператор теплопровідності є гіпоеліптичним, але не еліптичним.
• Оператор д'Аламбера не є гіпоеліптичним.

Література

• Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. — Москва : Мир, 1986—1988.
• Владимиров В.С.. Обобщённые функции в математической физике. — Москва : НаукаНаука, 1979.
• Ю.В. Егоров, М.А. Шубин. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории. — Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. — Москва : ВИНИТИ, 1988. — Т. 30. — С. 5-255.
• Ж. Трев. Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. — Москва, 1965.