Диференціальний оператор

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Диференціальний оператор (взагалі кажучи, не неперервний, не обмежений і не лінійний) — оператор, визначений деяким диференціальним виразом і діючий в просторах (взагалі кажучи, векторнозначних) функцій (або перетинів диференційовних розшарувань) на диференційовних многовидах, або в просторах, спряжених до просторів цього типу.

Диференціальний вираз — це таке відображення $\lambda$ множини ${\mathfrak {P}}$ у просторі перетинів розшарування $\xi$ з базою $M$ у простір перетинів розшарування $\eta$ з тією ж самою базою, що для будь-якої точки $p\in M$ і будь-яких перетинів $f,\;g\in {\mathfrak {P}}$ з збігів їх $k$-струй у точці $p$ слідує збіг $\lambda f$ і $g$ у тій же точці; найменше з чисел $k$, що задовольняють цій умові для всіх $p\in M$, називається порядком диференціального виразу і порядком диференціального оператора, визначеного цим виразом.

На многовиді $M$ без краю диференціальний оператор часто є розширенням оператора, природно обумовленого фіксованим диференціальним виразом на деякій (відкритій в підходящій топології) множині нескінченно (або досить багато разів) диференційовних перетинів даного векторного розшарування $\xi$ з базою $M$ і, таким чином, допускає природне узагальнення на випадок пучків ростків перетинів диференційовних розшарувань. На многовиді $M$ з краєм $\partial M$ диференціальний оператор $L$ часто визначається як розширення аналогічного оператора, природно певного диференціальним виразом на множині тих диференційовних функцій (або перетинів розшарування), обмеження яких на $\partial M$ лежать у ядрі деякого диференціального оператора $l$ на $\partial M$ (або задовольняє будь-яким іншим умовам, визначеним тими чи іншими вимогами до області значень оператора $l$ на обмеженнях функццій з області визначення оператора $L$, наприклад, нерівностями); диференціальний оператор $l$ називається таким, що визначає граничні умови для диференціального оператора $L$. Лінійні диференціальні оператори в просторах, спряжених до просторів функцій (або перетинів), визначаються як оператори, зв'язані до диференціальних операторів, зазначеного вище виду у цих просторах.

Див. також

• Гіпоеліптичний оператор