Топологічна спряженість

У теорії динамічних систем $(X,f)$ динамічну систему називають топологічно спряженою динамічній системі $(Y,g)$, якщо знайдеться такий гомеоморфізм $h:X\to Y$, що $g\circ h=h\circ f$, або, що те саме,

$g=h\circ f\circ h^{-1}.$

Іншими словами, (неперервна) заміна координат $y=h(x)$ перетворює динаміку ітерацій f на X динаміку ітерацій g на Y.

Регулярність спрягального відображення

Варто відзначити, що навіть у випадку, коли X і Y — многовиди, а відображення f і g гладкі (або навіть аналітичні), відображення h досить часто виявляється лише неперервним. Так, гладке спряження не може змінити значення мультиплікаторів у нерухомій або періодичній точці; навпаки, для структурно стійких подвоєння кола або дифеоморфізму Аносова двовимірного тора періодичні точки всюди щільні, а типове збурення змінює всі ці мультиплікатори.

Втім, поєднання гіперболічних відображень виявляється гельдеровим, а поєднання гладких або аналітичних дифеоморфізмів кола з діофантовим числом обертання також виявляється, відповідно, гладким або аналітичним.

У разі, якщо відображення h виявляється гельдеровим, ($C^{r}$-)гладким або аналітичним, кажуть відповідно про гельдерову, ($C^{r}$-)гладку або аналітичну спряженість.

Література

• Каток А. Б., Хассельблат Б.. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М. : Факториал, 1999. — С. 70—83. — ISBN 5-88688-042-9.