Зовнішня міра

В математиці, зокрема в теорії міри, зовнішня міра — це функція, визначена на всіх підмножинах даної множини з дійсним значенням, що задовольняє кільком додатковим технічним умовам.

Загальна теорія зовнішньої міри була розроблена Каратеодорі з метою забезпечити основу для теорії вимірних множин і зліченно-адитивних мір. Роботи Каратеодорі з зовнішньої міри знайшли чимало застосувань в теорії вимірних множин (зовнішня міра, наприклад, використовується в доведенні фундаментальної теореми Каратеодорі про продовження), і була використана Гаусдорфом для визначення метричного інваріанту, що узагальнює розмірність, зараз він зветься Гаусдорфовою розмірністю.

Міра узагальнює довжину, площу і об'єм, але також находить застосування для багатьох абстрактніших і незвичних речей, крім інтервалів або ж куль в $\mathbb {R} ^{3}$.

Випадок числової прямої

Для довільної підмножини $E$ числової прямої можна знайти як завгодно багато різних систем зі скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину $E$. Назвемо такі системи покриттями. Оскільки сума довжин інтервалів, що складають будь-яке покриття, є величиною невід'ємною, вона обмежена знизу, і, значить, множина довжин всіх покриттів має точну нижню межу. Ця грань, залежна тільки від множини $E$, і називається зовнішньою мірою:

$m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\}$

Варіанти позначення зовнішньої міри:

$m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}$

Формальне означення

Нехай $X$ — фіксована універсальна множина.

Зо́внішньою мі́рою називається функція $\mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty ]$ така, що

1. $\mu ^{*}(\varnothing )=0$;
2. $\forall A\subseteq X,\,\forall A_{n}\subset X,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\colon \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})$.

Нехай $\mu$ — міра, визначена на кільці $K$. Зовнішньою мірою, породженою мірою $\mu$, називається функція $\mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty ]$ така, що

1. $\mu ^{*}(A)=\inf {\bigl \{}\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}){\bigr \}},\;A_{n}\subset K,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ якщо хоч одне таке покриття множини $A$ існує;
2. $\mu ^{*}(A)=+\infty$ в іншому випадку.

Теорема. Зовнішня міра $\mu ^{*}$, породженна мірою $\mu$, є зовнішньою мірою.

$\vartriangleright$ Перевіримо пункт перший з означення зовнішньої міри. $\mu \geqslant 0\Rightarrow \mu ^{*}\geqslant 0$. $\mu ^{*}$ визначена на $2^{X}$.

$\varnothing \in K\colon \mu ^{*}(\varnothing )\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu (\varnothing )=0\Rightarrow \mu ^{*}(\varnothing )=0$.

Перевіримо другий пункт означення. Нехай $A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$. Якщо існує така множина $A_{n}$ з покриття, що $\mu ^{*}(A_{n})=+\infty$, то нерівність справджується. Нехай далі всі множини з покриття такі, що $\mu ^{*}(A_{n})<+\infty ,\,\forall n\geqslant 1$. Візьмемо довільне $\varepsilon >0$, за означенням точної нижньої межі

$\forall n\geqslant 1\,\exists B_{n_{k}}\in K,k\geqslant 1,\,A_{n}\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k}}\colon \mu ^{*}(A_{n})>\sum _{k=1}^{\infty }B_{n_{k}}-{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}$.

Тоді

$\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k}}\supseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\supseteq A$.

Оскільки $\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k}}$ є зліченним об'єднанням елементів кільця $K$, то

$\mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }\mu (B_{n_{k}})<\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\mu ^{*}(A_{n})+{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}{\bigr )}=\sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})+\varepsilon ,\varepsilon \longrightarrow 0+$. $\vartriangleleft$

Властивості зовнішньої міри

Властивості зовнішньої міри $\mu ^{*}$:

• $\forall n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\colon \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})$.

$\vartriangleright$ Дійсно,

$A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots \Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})+\mu ^{*}(\varnothing )+\mu ^{*}(\varnothing )+\cdots =\sum _{k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})$. $\vartriangleleft$

• $A\subseteq B\Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \mu ^{*}(B)$ (монотонність).

$\vartriangleright$ Випливає з попередньої властивості при $n=1$. $\vartriangleleft$

$\mu ^{*}$ - вимірні множини

Нехай $\mu ^{*}$ — деяка зовнішня міра визначена на підмножинах множини $X$. Тоді множини $E\subset X$, такі що для всіх $A\subset X$ виконується рівність:

$\mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A\cap E)+\mu ^{*}(A\cap E^{'}).$

називаються $\mu ^{*}$ - вимірними. $\mu ^{*}$ - вимірні множини утворюють σ-кільце, а функція $\mu ^{*}$ визначена на елементах цього σ-кільця є мірою, що називається мірою породженою $\mu ^{*}$. Якщо зовнішня міра $\mu ^{*}$ породжена деякою мірою $\mu$ визначеною на кільці $K$ то ${\overline {\mu }}$ буде продовженням міри $\mu$ (де ${\overline {\mu }}$ визначена вище міра породжена $\mu ^{*}$).

Якщо визначити ${\overline {\mu }}^{*}$ деяка зовнішня міра породжена мірою ${\overline {\mu }}$ то $\mu ^{*}={\overline {\mu }}^{*}$ тоді й лише тоді коли сама зовнішня міра $\mu ^{*}$ є породжена деякою мірою $\mu$.

Див. також

• Теорема Каратеодорі про продовження міри

Література

• Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
• Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953