Теорема Каратеодорі про продовження міри

В теорії міри теорема Каратеодорі твердить, що довільну (зліченно-адитивну) міру на деякому кільці ${\mathcal {R}}$ підмножин множини $X$ можна продовжити на σ-кільце, породжене кільцем ${\mathcal {R}}$ . У випадку σ-скінченності міри таке продовження є єдиним. З теореми зокрема випливає існування і єдиність міри Бореля і міри Лебега.

Твердження

Нехай ${\mathcal {R}}$ — кільце на множині $\,\Omega$ і $\mu :R\to [0,+\infty ]$ — міра на ${\mathcal {R}}$ . Тоді існує міра $\mu ':\sigma ({\mathcal {R}})\to [0,+\infty ]$ така, що $\,\mu '$ є продовженням $\,\mu$ . (Тобто, $\mu '_{|_{R}}=\mu$ ).

Тут $\,\sigma ({\mathcal {R}})$ — $\sigma$ -кільце, породжене ${\mathcal {R}}$ .

Якщо міра $\mu$ — σ-скінченна, то $\mu '$ є єдиною і також σ-скінченною.

Напівкільця

Більш загально таке продовження існує для міри, заданої на напівкільці, тобто сім'ї підмножин, що задовольняють умови:

$\varnothing \in S$
Для всіх $A,B\in S$ також $A\cap B\in S$
Для всіх $A,B\in S$ існують такі попарно неперетинні множини $K_{i}\in S$ , де $i=1,2,\ldots ,n$ , що $A\setminus B=\biguplus K_{i}$ .

Однак цей випадок легко зводиться до попереднього, оскільки кожне напівкільце породжує кільце, елементами якого є:

R(S)=\{A:A=\bigcup _{i=1}^{n}{A_{i}},A_{i}\in S\}

Також міра, задана на напівкільці, поширюється на все кільце:

\mu (A)=\sum _{p=1}^{n}{\mu (A_{p})}

для

A=\biguplus _{p=1}^{n}{A_{p}}

із A_p в

{\mathcal {S}}

.

Побудова продовження

Нехай $\mu$ — міра, визначена на кільці ${\mathcal {R}}$ підмножин множини $\Omega \,$ .

Тоді можна визначити $\mu ^{*}$ — функцію, визначену на $A\in {\mathcal {P}}(X)$ так :

\mu ^{*}(A)=\mathrm {inf} \{\sum _{k=1}^{+\infty }\mathrm {\mu } \,(E_{k})\,\mid \,E_{k}\in {\mathcal {R}},\,A\subset \bigcup _{k=1}^{+\infty }E_{k}\}.

Дана функція є зовнішньою мірою, породженою мірою $\mu$ .

Позначимо ${\mathcal {M}}_{\mu }$ сім'ю підмножин $A$ множини $\Omega \,$ , для яких виконується:

Для всіх $E\subset \Omega \,$ $\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\setminus A)=\mu ^{*}(E)$ .

Тоді ${\mathcal {M}}_{\mu }$ є σ-кільцем і на ньому можна визначити міру ${\overline {\mu }}(A)=\mu ^{*}(A)$ для всіх $A\in {\mathcal {M}}_{\mu }$ . Визначена таким чином функція є мірою, що збігається з $\mu$ на множинах кільця ${\mathcal {R}}$ . Також ${\mathcal {M}}_{\mu }$ містить σ-алгебру $\,\sigma ({\mathcal {R}})$ і звуження ${\overline {\mu }}$ на елементи $\,\sigma (R)$ і буде необхідним розширенням міри.

σ-кільце ${\mathcal {M}}_{\mu }$ є поповненням кільця $\,\sigma ({\mathcal {R}})$ , відповідно вони збігаються, якщо визначена міра на $\,\sigma ({\mathcal {R}})$ є повною.

Тому для доведення теореми достатньо довести, що для довільної зовнішньої міри $\mu ^{*}$ (не обов'язково породженої кільцем) визначені вище ${\mathcal {M}}_{\mu }$ є σ-кільцем, а ${\overline {\mu }}$ — мірою на цьому σ-кільці і, що у випадку якщо $\mu ^{*}$ є породженою кільцем ${\mathcal {R}}$ , то $\sigma ({\mathcal {R}})\subset {\mathcal {M}}_{\mu }.$ Також у випадку σ-скінченності міри доводиться єдиність продовження. Нехай для довільної множини $E\subset \Omega \,$ також ${\overline {E}}=\Omega \setminus E.$

${\mathcal {M}}_{\mu }$ є σ-кільцем, а ${\overline {\mu }}$ — мірою на σ-кільці

Оскільки для довільної підмножини $E\subset \Omega \,$ і для порожньої множини виконується рівність $\mu ^{*}(E\cap \varnothing )+\mu ^{*}(E\setminus \varnothing )=\mu ^{*}(\varnothing )+\mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E)$ то $\varnothing \in {\mathcal {M}}_{\mu }.$

Якщо $A\in {\mathcal {M}}_{\mu }$ то і ${\overline {A}}\in {\mathcal {M}}_{\mu }$ оскільки для довільної підмножини $E\subset \Omega \,$ виконується рівність

\mu ^{*}(E\cap {\overline {A}})+\mu ^{*}(E\setminus {\overline {A}})=\mu ^{*}(E\setminus A)+\mu ^{*}(E\cap A)=\mu ^{*}(E).

Нехай тепер $A\in {\mathcal {M}}_{\mu }$ і $B\in {\mathcal {M}}_{\mu }.$ Для довільної підмножини $E\subset \Omega \,$ із вимірності першої, а потім другої множини одержуються рівності:

\mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap {\overline {A}})=\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap {\overline {A}}\cap B)+\mu ^{*}(E\cap {\overline {A}}\cap {\overline {B}}).

Також із $A\in {\mathcal {M}}_{\mu }$ і властивостей елементарних операцій над множинами одержуються рівності:

\mu ^{*}(E\cap (A\cup B))=\mu ^{*}(E\cap (A\cup B)\cap A)+\mu ^{*}(E\cap (A\cup B)\cap {\overline {A}})=\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap {\overline {A}}\cap B).

Із попередніх нерівностей із застосуванням правила де Моргана остаточно:

\mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E\cap (A\cup B))+\mu ^{*}(E\cap {\overline {(A\cup B)}}).

Звідси також $A\cup B\in {\mathcal {M}}_{\mu }$ і з попередніх двох властивостей і правила де Моргана $A\cap B={\overline {{\overline {A}}\cup {\overline {B}}}}\in {\mathcal {M}}_{\mu }.$ Також $A\setminus B=A\cap {\overline {B}}\in {\mathcal {M}}_{\mu }.$ Тобто ${\mathcal {M}}_{\mu }$ є кільцем множин.

Нехай тепер $A_{n}\in {\mathcal {M}}_{\mu },\quad n\geqslant 1.$ Тоді також $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {M}}_{\mu }.$ Для доведення, спершу для довільної підмножини $E\subset \Omega \,$ із субадитивності зовнішньої міри відразу випливає нерівність:

\mu ^{*}(E)\leqslant \mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)+\mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ {\overline {\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}}\right).

Для доведення протилежної нерівності, зважаючи що ${\mathcal {M}}_{\mu }$ є алгеброю можна замість $A_{n}$ розглядати множини $A_{n}\setminus \bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\in {\mathcal {M}}_{\mu }$ і вважати, що множини не перетинаються. Тоді за індукцією із вимірності всіх множин для довільного $n\geqslant 1$ і довільної підмножини $E\subset \Omega \,$ виконується рівність:

\mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mu ^{*}(E\cap A_{i}).

Із цієї рівності і монотонності зовнішньої міри:

\mu ^{*}(E)=\mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ {\overline {\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}}\right)\geqslant \sum _{i=1}^{n}\mu ^{*}(E\cap A_{i})+\mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ {\overline {\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}}\right).

Оскільки ці нерівності виконуються для всіх $n\geqslant 1$ то із використанням властивості субадитивності зовнішньої міри одержується необхідна нерівність:

\mu ^{*}(E)\geqslant \sum _{i=1}^{\infty }\mu ^{*}(E\cap A_{i})+\mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ {\overline {\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}}\right)\geqslant \mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)+\mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ {\overline {\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}}\right).

Таким чином із двох протилежних нерівностей остаточно:

\mu ^{*}(E)=\mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)+\mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ {\overline {\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}}\right),

тобто $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {M}}_{\mu }.$

Якщо взяти $E=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ то також одержується рівність $\mu ^{*}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}A_{n},$ тобто обмеження ${\overline {\mu }}$ зовнішньої міри $\mu ^{*}$ на множини із ${\mathcal {M}}_{\mu }$ є сигма-адитивною функцією. Вона також очевидно є додатною, тобто мірою на ${\mathcal {M}}_{\mu }.$

Початкове кільце є підмножиною ${\mathcal {M}}_{\mu }$

Нехай тепер $\mu ^{*}$ є породженою кільцем ${\mathcal {R}}$ і мірою $\mu$ на ньому. Тоді $\mu (A)=\mu ^{*}(A),\ \forall A\in {\mathcal {R}}.$ Справді, $\mu ^{*}(A)\leqslant \mu (A),\$ оскільки $A\subset A\cup \varnothing \cup \varnothing \cup \ldots .$ Навпаки, для будь-якої послідовності $A_{n}\in {\mathcal {R}},\quad n\geqslant 1.$ для якої $A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ також $A=\bigcup _{n=1}^{\infty }(A\cap A_{n}).$

Із σ-адитивності і монотонності міри на кільці випливає нерівність $\mu (A)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A\cap A_{n})\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}).$ Тому, згідно з означенням зовнішньої міри також $\mu (A)\leqslant \mu ^{*}(A).$

Нехай $A\in {\mathcal {R}}$ , $\varepsilon >0$ — довільне додатне число, а $E\subset \Omega \,$ — деяка множина для якої $\mu ^{*}(E)<\infty .$ Згідно із означенням зовнішньої міри породженої мірою на кільці тоді існує послідовність $A_{n}\in {\mathcal {R}},\quad n\geqslant 1$ для якої $E\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ і $\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\mu ^{*}(E)+\varepsilon .$

Із урахуванням адитивності міри на кільці і субадитивності зовнішньої міри:

\mu ^{*}(E)+\varepsilon >\sum _{n=1}^{\infty }(\mu (A_{n}\cap A)+\mu (A_{n}\cap {\overline {A}}))\geqslant \mu (E\cap A)+\mu (E\cap {\overline {A}}).

Оскільки вказані нерівності виконуються для всіх $\varepsilon >0$ , то $\mu ^{*}(E)\geqslant \mu (E\cap A)+\mu (E\cap {\overline {A}}).$ Протилежна нерівність завжди виконується для зовнішньої міри, тому насправді $\mu ^{*}(E)=\mu (E\cap A)+\mu (E\cap {\overline {A}}),$ тобто усі множини кільця ${\mathcal {R}}$ належать ${\mathcal {M}}_{\mu }.$ Оскільки σ-кільце $\sigma ({\mathcal {R}})$ породжене кільцем ${\mathcal {R}}$ є перетином усіх σ-кілець, що містять ${\mathcal {R}}$ , то також і $\sigma ({\mathcal {R}})\subset {\mathcal {M}}_{\mu }.$

Для σ-скінченної міри на кільці продовження на породжене σ-кільце є єдиним

Нехай міра ${\overline {\mu }}$ є продовженням на $\sigma ({\mathcal {R}})$ міри $\mu$ на кільці ${\mathcal {R}}$ одержаним у вказаний вище спосіб, а $\lambda$ є деяким продовженням на $\sigma ({\mathcal {R}})$ міри $\mu$ . Нехай спершу, одна із цих мір є скінченною на всіх множинах із $\sigma ({\mathcal {R}})$ . Якщо позначити ${\mathcal {Q}}$ — клас усіх підмножин із $\sigma ({\mathcal {R}})$ для яких міри $\lambda$ і ${\overline {\mu }}$ є рівними, тоді ${\mathcal {R}}\subset {\mathcal {Q}}\subset \sigma ({\mathcal {R}})$ і ${\mathcal {Q}}$ є монотонним класом, тобто:

Якщо $A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {Q}}$ і $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots$ тоді ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in M,}$ і
Якщо $B_{1},B_{2},\ldots \in M$ і $B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq \cdots$ тоді ${\textstyle \bigcap _{i=1}^{\infty }B_{i}\in M.}$

Справді, для зростаючої послідовності множин $A_{n}$ із ${\mathcal {Q}}$ із неперервності міри знизу одержується, що:

\lambda \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }\lambda (A_{n})=\lim _{n\to \infty }{\overline {\mu }}(A_{n})={\overline {\mu }}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right).

Тобто $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {Q}}.$ Аналогічно для спадної послідовності множин $B_{n}$ із ${\mathcal {Q}}$ за допомогою неперервності міри зверху і припущення скінченності однієї із мір:

\lambda \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }\lambda (B_{n})=\lim _{n\to \infty }{\overline {\mu }}(B_{n})={\overline {\mu }}\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}\right).

відповідно також $\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}\in {\mathcal {Q}}.$

Оскільки ${\mathcal {Q}}$ є монотонним класом, для якого ${\mathcal {R}}\subset {\mathcal {Q}}\subset \sigma ({\mathcal {R}})$ , то згідно теореми про монотонний клас ${\mathcal {Q}}=\sigma ({\mathcal {R}}),$ тобто $\lambda ={\overline {\mu }}$ для всіх множин із $\sigma ({\mathcal {R}})$ .

Якщо $A\in {\mathcal {Q}}$ є множиною для якої одна із мір $\lambda$ і ${\overline {\mu }}$ є скінченною. Тоді із попереднього міри $\lambda$ і ${\overline {\mu }}$ є рівними на множинах $A\cap \sigma ({\mathcal {R}})=\sigma (A\cap {\mathcal {R}})$ . Остаточно результат одержується із того, що кожна множина із $\sigma ({\mathcal {R}})$ є підмножиною об'єднання не більш ніж зліченної кількості множин із ${\mathcal {R}}$ скінченної міри.

Приклади

Якщо на дійсній прямій взяти напівкільце ${\mathcal {S}}$ інтервалів $(a,b),\quad a<b$ , де міра $(a,b)$ рівна (b-a), то подана конструкція дає визначення міри Бореля на борелівських множинах $\,\sigma ({\mathcal {S}})$ . Множині ${\mathcal {M}}_{\mu }$ тут відповідає множина вимірних за Лебегом множин.
Умова σ-скінченності є необхідною для єдиності продовження. Наприклад, на множині X всіх раціональних чисел проміжку [0 , 1] можна задати напівкільце раціональних чисел проміжку [a , b), де a < b — раціональні числа з проміжку [0 , 1]. σ-кільце, породжене цим напівкільцем, є множиною всіх підмножин X. Задавши тепер $\mu (A)$ , рівне кількості елементів A, і $\mu ^{'}(A)=2\mu (A)$ , маємо, що обидві міри збігаються (тобто однакові) на напівкільці і породженому кільці (оскільки всі непорожні множини цих напівкільця і кільця є безмежними, то обидві міри на всіх цих множинах рівні $\infty$ ), але не збігаються на породженому σ-кільці. Це означає, що в даному випадку продовження не є єдиним.