Умовна ймовірність

Умо́вна ймові́рність — ймовірність однієї події за умови, що інша подія вже відбулася.

Нехай $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — фіксований ймовірнісний простір. Нехай $A,B\in {\mathcal {F}}$ дві випадкової події, причому $\mathbb {P} (B)>0$. Тоді умовною ймовірністю події $A$ при умові події $B$ називається

$\mathbb {P} (A\vert B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}.$

Властивості

• Прямо з визначення очевидно випливає, що

$\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A\vert B)\;\mathbb {P} (B).$

• Якщо $\mathbb {P} (B)=0$, то умовна ймовірність, строго кажучи, не визначена. Проте іноді умовляються вважати її в цьому випадку рівною нулю .

• Умовна ймовірність є ймовірністю, тобто функція $\mathbb {Q} :{\mathcal {F}}\to \mathbb {R}$, задана формулою

$\mathbb {Q} (A)=\mathbb {P} (A\vert B),\;\forall A\in {\mathcal {F}},$

задовольняє усі аксіоми імовірнісної міри.

Статистична незалежність

Події $A$ і $B$ є статистично незалежними, якщо

$P(A\cap B)=P(A)P(B).$

Якщо $P(B)$ не нульова, це еквівалентне виразу

$P(A|B)=P(A).$

Так само, якщо $P(A)$ не дорівнює нулю, тоді

$P(B|A)=P(B).$

також еквівалентно.

Приклад

Якщо $A,B$ — несумісні події, тобто $A\cap B=\varnothing$ та $\mathbb {P} (A)>0,\;\mathbb {P} (B)>0$, тоді

$\mathbb {P} (A\vert B)=0$

та

$\mathbb {P} (B\vert A)=0$.

Див. також

• Незалежність подій;
• Умовне математичне сподівання;
• Формула повної ймовірності;
• Теорема Баєса.

Джерела

• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810
• Williams D., Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6