У математичному аналізі квазірівномірна збіжність є узагальненням поняття рівномірної збіжності. Нехай послідовність функцій
топологічного простору
у множину дійсних чисел (чи більш загально у метричний простір
) поточково збігається до функції
. Тоді збіжність називається квазірівномірною якщо для будь-якого
і будь-якого натурального числа
існує не більш ніж зліченне відкрите покриття
простору
і послідовність
натуральних чисел, де всі
що
для всіх
Поняття квазірівномірної збіжності ввів італійський математик Чезаре Арцела при вивченні необхідних і достатніх умов при яких поточково збіжна послідовність неперервних функцій збігається до теж неперервної функції.
Із означення рівномірної збіжності випливає, що кожна рівномірно збіжна послідовність є квазірівномірно збіжною і при цьому для будь-яких
і
достатньо взяти покриття із єдиної множини
а за
— будь-яке натуральне число, що задовольняє нерівність
де
є натуральним числом, що відповідає
в означенні рівномірної збіжності.
Якщо топологічний простір є компактним, а послідовність
є зростаючою, то навпаки квазірівномірна збіжність є рівномірно. Дійсно із компактності випливає, що для будь-яких
і
покриття можна вибрати скінченним і тоді для
нерівність
виконується для всіх
Але тоді для всіх
також
для всіх
і тому
можна вибрати як число із означення рівномірної неперервності для
. Як наслідок зокрема теорема Діні випливає із теореми Арцела нижче.
Для поточково збіжної послідовності
неперервних функцій квазірівномірна збіжність є необхідною та достатньою умовою неперервності граничної функції
.
Нехай
Якщо
є неперервною то відповідно і всі
є неперервними. Відповідно усі множини
для
є відкритими підмножинами простору
. Множина цих відкритих підмножин є не більш, ніж зліченною.
Точка
належить множині
якщо
тобто
Із умови поточкової збіжності випливає, що множини
утворюють відкрите покриття простору
Якщо тепер
і
то для
і
згідно означень виконується нерівність
для всіх
Множини
для
і
теж утворюють відкрите покриття простору
Справді якщо
то із означення поточкової збіжності випливає, що для будь-якого
для всіх достатньо великих чисел
Зокрема можна вибрати для цього
і тоді
Відповідно множини виду
для
і
утворюють не більш ніж зліченне покриття простору
і якщо для множини
вибрати число n це покриття задовольняє умову в означенні квазірівномірної збіжності. Тобто збіжність є квазірівномірною, що завершує доведення необхідності.
Нехай тепер збіжність
до граничної функції
є квазірівномірною. Достатньо довести, що для будь-якого відкритого проміжку
прообраз
є відкритою множиною. Це очевидно є так, якщо прообраз є порожньою множиною. В іншому випадку існує
для якого
і можна вибрати числа
із умовами
і
Нехай
є довільним натуральним числом і розглянемо покриття із означення квазірівномірної збіжності для
і
. Нехай
є елементом покриття, що містить
Тоді для деякого
для всіх
виконується нерівність
Зокрема звідси випливає, що
і як наслідок
Оскільки за умовою
є неперервною функцією, то
і тому також
є відкритими множинами, що містять
Але тоді для будь-якого
також
і
тому
Зокрема
і
є відкритою множиною, що міститься у
і містить точку
Із довільності вибору
випливає, що
є відкритою множиною і оскільки вибір
теж був довільним звідси випливає неперервність функції
.