Квазірівномірна збіжність

У математичному аналізі квазірівномірна збіжність є узагальненням поняття рівномірної збіжності. Нехай послідовність функцій $f_{n}$ топологічного простору $X$ у множину дійсних чисел (чи більш загально у метричний простір $Y$ ) поточково збігається до функції $f$ . Тоді збіжність називається квазірівномірною якщо для будь-якого $\varepsilon >0$ і будь-якого натурального числа $N$ існує не більш ніж зліченне відкрите покриття $\{U_{1},U_{2},\ldots \}$ простору $X$ і послідовність $n_{1},n_{2},\ldots$ натуральних чисел, де всі $n_{i}>N,$ що $|f(x)-f_{n_{i}}(x)|<\varepsilon$ для всіх $x\in U_{i}.$

Поняття квазірівномірної збіжності ввів італійський математик Чезаре Арцела при вивченні необхідних і достатніх умов при яких поточково збіжна послідовність неперервних функцій збігається до теж неперервної функції.

Із означення рівномірної збіжності випливає, що кожна рівномірно збіжна послідовність є квазірівномірно збіжною і при цьому для будь-яких $\varepsilon >0$ і $N\in \mathbb {N}$ достатньо взяти покриття із єдиної множини $X,$ а за $n_{1}$ — будь-яке натуральне число, що задовольняє нерівність $n_{1}>\max(N,N_{\varepsilon }),$ де $N_{\varepsilon }$ є натуральним числом, що відповідає $\varepsilon$ в означенні рівномірної збіжності.

Якщо топологічний простір є компактним, а послідовність $f_{n}$ є зростаючою, то навпаки квазірівномірна збіжність є рівномірно. Дійсно із компактності випливає, що для будь-яких $N$ і $\varepsilon$ покриття можна вибрати скінченним і тоді для $n=\max _{i}n_{i}$ нерівність $|f(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon$ виконується для всіх $x\in X.$ Але тоді для всіх $m>n$ також $|f(x)-f_{m}(x)|<=|f(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon$ для всіх $x\in .$ і тому $n$ можна вибрати як число із означення рівномірної неперервності для $\varepsilon$ . Як наслідок зокрема теорема Діні випливає із теореми Арцела нижче.

Теорема Арцела

Для поточково збіжної послідовності $f_{n}$ неперервних функцій квазірівномірна збіжність є необхідною та достатньою умовою неперервності граничної функції $f$ .

Доведення

Нехай $\varphi _{n}(x):=f(x)-f_{n}(x).$ Якщо $f$ є неперервною то відповідно і всі $\varphi _{n}$ є неперервними. Відповідно усі множини ${\textstyle U_{nm}:=\varphi _{n}^{-1}\left(-{\frac {1}{m}},{\frac {1}{m}}\right)}$ для $n,m\in \mathbb {N}$ є відкритими підмножинами простору $X$ . Множина цих відкритих підмножин є не більш, ніж зліченною. Точка $x\in X$ належить множині $U_{nm}$ якщо ${\textstyle |\varphi _{n}(x)|<{\frac {1}{m}}}$ тобто ${\textstyle |f(x)-f_{n}(x)|<{\frac {1}{m}}.}$ Із умови поточкової збіжності випливає, що множини $U_{nm}$ утворюють відкрите покриття простору $X.$

Якщо тепер $\varepsilon >0$ і $N\in \mathbb {N}$ то для $n>N$ і ${\textstyle m>{\frac {1}{\varepsilon }}}$ згідно означень виконується нерівність ${\textstyle |\varphi _{n}(x)|<{\frac {1}{m}}<\varepsilon }$ для всіх $x\in U_{nm}.$ Множини $U_{nm}$ для $n>N$ і ${\textstyle m>{\frac {1}{\varepsilon }}}$ теж утворюють відкрите покриття простору $X.$ Справді якщо $x\in X$ то із означення поточкової збіжності випливає, що для будь-якого ${\frac {1}{m}}<\varepsilon$ для всіх достатньо великих чисел $n$ ${\textstyle |f(x)-f_{n}(x)|<{\frac {1}{m}}.}$ Зокрема можна вибрати для цього $n>N$ і тоді $x\in U_{nm}.$

Відповідно множини виду $U_{nm}$ для $n>N$ і ${\textstyle m>{\frac {1}{\varepsilon }}}$ утворюють не більш ніж зліченне покриття простору $X$ і якщо для множини $U_{nm}$ вибрати число n це покриття задовольняє умову в означенні квазірівномірної збіжності. Тобто збіжність є квазірівномірною, що завершує доведення необхідності.

Нехай тепер збіжність $f_{n}$ до граничної функції $f$ є квазірівномірною. Достатньо довести, що для будь-якого відкритого проміжку $(a,b)$ прообраз $f^{-1}(a,b)$ є відкритою множиною. Це очевидно є так, якщо прообраз є порожньою множиною. В іншому випадку існує $x\in X$ для якого $f(x)\in (a,b)$ і можна вибрати числа $c,d,\varepsilon$ із умовами $a<c<f(x)<d<b$ і $0<\varepsilon <\min(c-a,b-d,f(x)-c,d-f(x)).$ Нехай $N$ є довільним натуральним числом і розглянемо покриття із означення квазірівномірної збіжності для $\varepsilon$ і $N$ . Нехай $U$ є елементом покриття, що містить $x.$ Тоді для деякого $n>N$ для всіх $y\in U$ виконується нерівність ${\textstyle |f(y)-f_{n}(y)|<\varepsilon .}$ Зокрема звідси випливає, що ${\textstyle f(x)-\varepsilon <f_{n}(x)<f(x)+\varepsilon }$ і як наслідок ${\textstyle f_{n}(x)\in (c,d).}$ Оскільки за умовою ${\textstyle f_{n}(x)}$ є неперервною функцією, то ${\textstyle f_{n}^{-1}(c,d)}$ і тому також $V:=U\cap f_{n}^{-1}(c,d)$ є відкритими множинами, що містять $x.$ Але тоді для будь-якого $y\in V$ також ${\textstyle |f(y)-f_{n}(y)|<\varepsilon }$ і ${\textstyle f_{n}(y)\in (c,d)}$ тому ${\textstyle c-\varepsilon <f(y)<d+\varepsilon .}$ Зокрема $f(V)\subset (a,b)$ і $V$ є відкритою множиною, що міститься у $f^{-1}(a,b)$ і містить точку $x.$ Із довільності вибору $x$ випливає, що $f^{-1}(a,b)$ є відкритою множиною і оскільки вибір $(a,b)$ теж був довільним звідси випливає неперервність функції $f$ .