Теорема Діні

Теорема Діні — твердження в математичному аналізі, що для компактного метричного простору E, якщо зростаюча (відповідно спадна) послідовність f_n дійсних неперервних функцій поточково збігається до неперервної функції g, то вона збігається до цієї функції g рівномірно.

Доведення

Припустимо, що послідовність зростаюча.

Для довільного $\varepsilon >0$ і довільної точки $t\in E$ існує такий номер $n(t),$ що при $m\geqslant n(t)$ виконується нерівність $g(t)-f_{m}(t)\leqslant \varepsilon /3$. Так як g і $f_{n(t)}$ неперервні, у точки t існує такий окіл V (t), що з $t'\in V(t)$ випливає $|g(t)-g(t')|\leqslant \varepsilon /3$ і $|f_{n(t)}(t)-f_{n(t)}(t')|\leqslant \varepsilon /3.$

Таким чином, для будь-якої точки $t'\in V(t)$ ми маємо $|g(t')-f_{n(t)}(t')|\leqslant \varepsilon .$

Виберемо тепер скінченну множину точок $t_{i}\in E$ так, щоб околи $V(t_{i})$ покривали Е (це можливо, зважаючи на компактність E), і нехай $n_{0}$ — найбільший з номерів $n(t_{i}).$

Тоді будь-яка точка $t\in E$ належить принаймні одному з околів $V(t_{i}),$ тому при $n\geqslant n_{0}$ справедливі нерівності $g(t)-f_{n}(t)\leqslant g(t)-f_{n_{0}}(t)\leqslant g(t)-f_{n(t_{i})}(t),\,\forall t\in E.$

Див. також

• Квазірівномірна збіжність
• Рівномірна збіжність

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Банах С. Диференціальне та інтегральне числення = Rachunek różniczkowy i całkowy. — 2-е. — М. : Наука, 1966. — 436 с.(рос.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)