Когомологія де Рама

Когомології де Рама — теорія когомологій, визначених за допомогою диференціальних форм на гладких многовидах. Завдяки відносній простоті обчислень широко застосовуються в алгебраїчній і диференціальній топології, а також диференціальній геометрії і математичному аналізі. Попри те, що вони визначаються за допомогою диференціальних структур на многовиді, згідно теореми де Рама когомології де Рама ізоморфні сингулярним когомологіям, які визначаються лише з урахуванням топологічної структури.

Визначення

Допоміжні визначення і позначення

Нехай M — гладкий многовид розмірності n. Позначимо $\Omega ^{k}(M)$ — простір гладких диференціальних форм степеня k на многовиді M. В локальних координатах диференціальна форма $\omega \in \Omega ^{k}(M)$ записується у вигляді

$\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{i_{1}}\wedge dx_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}$

де $f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}$ — гладкі функції $dx_{i}$ — диференціал $i$-ї координати $x_{i}$, а $\wedge$ — зовнішній добуток.

Для k > n всі диференціальні форми рівні нулю. Для $0\leqslant k\leqslant n$ множина диференціальних форм є векторним простором розмірності $C_{n}^{k}.$

Для всіх $0\leqslant k\leqslant n$ природно визначається оператор $d:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)$, що називається зовнішньою похідною і в локальних координатах для $\omega \in \Omega ^{k}(M)$ можна записати за допомогою формули:

$d\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}\sum _{1\leqslant j\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}{\partial x^{j}}}(x_{1},\;\dots ,\;x_{n})\,dx_{j}\wedge dx_{i_{1}}\wedge dx_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}.$

З запису в локальних координатах одразу отримується рівність $d(d\omega )=0$ для всіх диференціальних форм або $d\circ d=0.$

Комплекси і когомології де Рама

З використанням введених вище позначень можна розглянути комплекс де Рама — коланцюговий комплекс визначений як:

$0\to \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots .$

З того, що $d\circ d=0$ випливає що $\mathrm {Im} d\subset \mathrm {Ker} d.$

Диференціальна форма $\omega \in \Omega ^{k}(M)$ називається замкнутою, якщо $d\omega =0.$ Простір замкнутих k-форм на многовиді M позначається $Z^{k}(M).$

Диференціальна форма $\omega \in \Omega ^{k}(M)$ називається точною, якщо існує диференціальна форма ${\bar {\omega }}\in \Omega ^{k-1}(M),$ така, що $\omega =d{\bar {\omega }}.$ Простір точних k-форм на многовиді M позначається $B^{k}(M).$

Множини $Z^{k}(M)$ і $B^{k}(M)$ є дійсними векторними просторами і до того ж з включення $\mathrm {Im} d\subset \mathrm {Ker} d.$ випливає, що простір точних форм є підпростором простору замкнутих форм.

Тому можна визначити фактор-простір

$H_{dR}^{k}(M)\ =\ Z^{k}(M)\,/\,B^{k}(M).$

$H_{dR}^{k}(M)$ називається когомологічною групою де Рама порядку k.

Дві замкнуті форми $\omega _{1},\omega _{2}\in Z^{k}(M)$ належать одному класу еквівалентності $[\omega ]\in H_{dR}^{k}(M)$ тоді й лише тоді, коли їх різниця є точною диференціальною формою: $\omega _{1}-\omega _{2}\in B^{k}(M).$

Розмірність простору $H_{dR}^{k}(M)$, якщо вона є скінченною (це справедливо зокрема для когомологічних груп довільного порядку для компактних многовидів) називається k-м числом Бетті.

Когомології де Рама для деяких просторів

Нижче подані значення когомологій де Рама для деяких простих і важливих многовидів.

Значення $H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)$

Для довільного многовиду з n компонентами зв'язності справедливе твердження:

$H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathbf {R} ^{n}.$

Евклідів простір

$H_{\mathrm {dR} }^{k}(\mathbb {R} ^{n})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0,\\0&k>0.\end{cases}}$

n-сфера

Для n-сфери, Sⁿ, а також для її добутку з гіперкубом, можна легко обчислити когомології де Рама. Нехай n > 0, m ? 0, і I — відкритий інтервал дійсних чисел. Тоді

$H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n}\times I^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0,n,\\0&k\neq 0,n.\end{cases}}$

n-тор

Для n > 0 когомології де Рама для n-тора рівні

$H_{\mathrm {dR} }^{k}(T^{n})\simeq \mathbb {R} ^{n \choose k}.$

Проколотий евклідів простір

Проколотий евклідів простір — евклідів простір з видаленим початком координат.

${\begin{aligned}\forall n\in \mathbb {N} ,H_{\mathrm {dR} }^{k}(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{{\vec {0}}\})&\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0,n-1\\0&k\neq 0,n-1\end{cases}}\\&\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n-1})\end{aligned}}$

Стрічка Мебіуса

Для стрічки Мебіуса:

$H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{1}).$

Теорема де Рама

Сингулярні когомології

Розглянемо тепер многовид M з гладкою триангуляцією, тобто гомеоморфізмом $h:[K]\to M,$ де [K] — деякий симпліційний комплекс, так що для будь-якого симплекса $s\in [K]$ для замикання симплекса [s] існує окіл U, що містить [s] і $h(U)\subset M$ є гладким підмноговидом в M. Тоді M стає сингулярним комплексом і на ньому можна визначити коланцюговий комплекс (див. статтю Сингулярні гомології):

$0\to C^{0}(M,\mathbb {R} ){\stackrel {\partial ^{*}}{\to }}\ C^{1}(M,\mathbb {R} )\ {\stackrel {\partial ^{*}}{\to }}\ C^{2}(M,\mathbb {R} )\ {\stackrel {\partial ^{*}}{\to }}\ C^{3}(M,\mathbb {R} )\to \cdots .$

Елементами $C^{k}(M,\mathbb {R} )$ є лінійні функціонали на просторі формальних сум сингулярних симплексів розмірності k.

Як і для когомологій де Рама $\partial ^{*}\circ \partial ^{*}=0,$ а тому можна аналогічно ввести простори $Z^{k}(M,\mathbb {R} ),\,B^{k}(M,\mathbb {R} )$ і $H^{k}{s}(M,\mathbb {R} )\ =\ Z^{k}(M,\mathbb {R} )\,/\,B^{k}(M,\mathbb {R} ).$

Останні простори називаються сингулярними когомологіями. На відміну від когомологій де Рама, визначення яких здійснено за допомогою диференційовної структури на многовиді, визначення сингулярних когомологій — суто топологічне. Попри це ці когомології є ізоморфними.

Ізоморфізм когомологій де Рама і сингулярних когомологій

Нехай маємо многовид M з гладкою триангуляцією і з визначеними як вище когомологіями де Рама і сингулярною. Введемо тепер лінійне відображення $\int :H_{dR}^{k}(M)\to H^{k}{s}(M,\mathbb {R} )$ визначене для всіх гомологічних груп одного порядку. Для цього достатньо визначити гомоморфізми $\int :\Omega ^{k}(M)\to C^{k}(M,\mathbb {R} ),$ що задовольняють рівності $\partial ^{*}\circ \int =\int \circ d.$

Дійсно тоді $\int (Z^{k}(M))\subset Z^{k}(M,\mathbb {R} )$ і $\int (B^{k}(M))\subset B^{k}(M,\mathbb {R} ),$ тож гомоморфізм $H_{dR}^{k}(M)\to H^{k}{s}(M,\mathbb {R} )$ буде коректно визначений.

Для диференціальної форми $\omega \in \Omega ^{k}(M)$ значенням $\int (\omega )$ має бути лінійний функціонал на множині формальних сум орієнтовних сингулярних симплексів розмірності k. Зважаючи на властивості лінійності цей функціонал можна задати лише на базових орієнтовних сингулярних. З визначення триангуляції многовида кожен такий симплекс <s> є частиною деякого підмноговида в M. На цьому підмноговиді можна визначити звуження $\omega$ і тоді прийняти:

$\int (\omega )<s>=\int _{s}\omega .$

Рівності $\partial ^{*}\circ \int =\int \circ d$ при подібному визначенні є простими наслідками теореми Стокса.

Теорема де Рама стверджує, що відображення $\int :H_{dR}^{k}(M)\to H^{k}{s}(M,\mathbb {R} )$ визначене вище є ізоморфізмом між гомологіями де Рама і сингулярними гомологіями для всіх k.

Алгебраїчні многовиди

Визначення

Аналогічно як у випадку гладкого многовида для кожного алгебраїчного многовида $X$ над полем $k$ можна визначити комплекс регулярних диференціальних форм.

Групами когомологій де Рама многовида $X$ называються групи когомологій $H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/k)$.

Часткові випадки когомологій де Рама

• Якщо $X$ є гладким і повним многовидом, а характеристика поля $\mathrm {char} \,k=0$, то когомології де Рама є когомологіями Вейля.
• Якщо многовид $X$ є гладким афінним многовидом, а поле $k=\mathbb {C}$, то справедливим є аналог теореми де Рама:

  $H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/k)\cong H^{p}(X_{an},\;\mathbb {C} ),$

де $X_{an}$ — комплексний аналітичний многовид, що відповідає многовиду $X$.

• Наприклад якщо $X$ — доповнення до алгебраїчної гіперповерхні в $P^{n}(\mathbb {C} )$, то когомології $H^{p}(X,\;\mathbb {C} )$ можна обрахувати за допомогою раціональних диференціальних форм на $P^{n}(\mathbb {C} )$ с полюсами на цій гіперповерхні.

Відносні когомології де Рама

Для будь-якого морфізму $f\colon X\to S$ можна визначити так званий відносний комплекс де Рама

$\sum _{p\leqslant 0}\Gamma (\Omega _{X/S}^{p}),$

і відповідні відносні когомології де Рама $H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/S)$.

У випадку якщо многовид $X$ є спектром кільця $\mathrm {Spec} \,A$, а $S=\mathrm {Spec} \,B$, то відносний комплекс де Рама рівний $\Lambda \Omega _{A/B}^{1}$.

Когомології ${\mathcal {H}}_{\mathrm {dR} }^{p}(X/S)$ комплексу пучків $\sum _{p\leqslant 0}f_{*}\Omega _{X/S}^{p}$ на $S$ називаються пучками відносних когомологій де Рама. Якщо $f$ — власний морфізм, то ці пучки когерентні на $S$.

Див. також

• Диференціальна форма
• Симпліційний комплекс
• Сингулярні гомології

Джерела

• Bredon, Glen E. (1993). Topology and Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
• Madsen, I. H.; Tornehave, J (1997). From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classes. Cambridge University Press. ISBN 978-0521580595.
• Singer, I. M.; Thorpe, J. A. (1976). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. ISBN 978-0-387-90202-9.