Коливальний контур

Колива́льний ко́нтур або коливний контур — електричне коло, складене з резистора, конденсатора та котушки індуктивності, в якому можливі коливання напруги й струму. Коливальні контури широко застосовуються в радіотехніці та електроніці, зокрема в генераторах електричних коливань, в частотних фільтрах. Вони використовуються практично в кожному електротехнічному пристрої.

RLC in serie circuit

Послідовний RLC-коливальний контур: V - напруга в контурі І - сила струму в контурі R - резистор L - котушка індуктивності C - конденсатор

Коливальний контур без джерела напруги

Коливальний контур, що складається із послідовно з'єднаних котушки індуктивністю $L\$, конденсатора ємністю $C\$ та активного резистора $R\$ називається RLC-контуром.

В загальному випадку активний опір $R$ включає не тільки активні опори провідників, а й опір, зв'язаний з витратами на випромінювання, що виникає внаслідок відкритості конденсатора та індуктивності.

У випадку, коли активний опір малий, і ним можна знехтувати, коливальний контур називають LC-контуром.

В ланку коливального контуру можна додати перемикач для аналізу процесу накопичення зарядів на ємності.

Якісний опис

Нехай у певний момент часу на обкладинках конденсатора C існує певний заряд: додатній на одній із них, від'ємний на іншій. Оскільки обкладинки сполучені між собою колом, що складається з індуктивності і опору, то конденсатор почне розряджатися, а через коло потече струм. Збільшення струму на котушці індуктивності викликає в ній електрорушійну силу, яка діятиме проти струму, перешкоджаючи йому зростати миттєво. Крім того, проходячи через активний опір, струм буде викликати нагрівання цього опору за законом Джоуля-Ленца, призводячи до втрат енергії.

Сила струму в колі буде збільшуватися доти, доки на обкладинках конденсатора залишатиметься заряд. Тоді, коли заряд на обкладинках конденсатора дорівнюватиме нулю, сила струму в колі буде максимальною, і відтоді почне зменшуватися. Зменшення струму в індуктивності призводить до виникнення електрорушійної сили, яка намагатиметься сповільнити це зменшення, тому струм в колі не зменшиться до нуля миттєво, а продовжуватиме протікати, заряджаючи конденсатор уже оберненим зарядом. На обкладинці, зарядженій спочатку додатньо, зосереджуватиметься від'ємний заряд, і навпаки. Максимального значення заряд досягне тоді, коли струм через коло спаде до нуля. В цю мить на обкладинках конденсатора утвориться заряд майже рівний початковому, тільки з оберненим знаком. Зменшення заряду зумовлене втратами в активному опорі, що викликають зменшення струму перезарядки. Далі процес повторюється в зворотньому напрямку - конденсатор починає розряджатися, викликаючи в колі струм, індуктивність спочатку обмежує швидкість зростання струму, а потім швидкість його зменшення викликає електрорушійну силу , що втримує заряд, і, як наслідок, конденсатор знову заряджається.

Якщо втрати струму (на утворення тепла, на випромінювання електромагнітних хвиль тощо) невеликі, то коливання можуть продовжуватися дуже довго. У ідеальному випадку нульового опору - вічно. В реальних колах активний опір завжди існує, а тому реальні коливання завжди затухають.

Математичне формулювання

Основним критерієм розгляду є умова постійності сили струму у всіх точках контуру. Тобто сила струму в довільний момент часу повинна задовольняти всім законам притаманним постійному струму. Такий змінний струм називають квазістаціонарним. Диференціальне рівняння для класичного RLC-контуру записується для невідомої динамічної змінної - електричного заряду $q(t)\$ і є математичним виразом закону Кірхгофа. Рівняння складається з трьох доданків - спадів напруги на індуктивності, на резисторі та напрузі на ємності, які в сумі повинні давати нуль:

$L{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+R{\frac {dq}{dt}}+{\frac {q}{C}}=0$,

Розв'язок цього рівняння має вигляд:

$q(t)=A_{0}e^{-Rt/2L}\sin(\omega t+\alpha _{0})~,~~~\omega ={\sqrt {{\frac {1}{LC}}-{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}}}$

де $\omega$ - резонансна частота контуру, $A_{0}$ - амплітуда коливань, $\alpha _{0}$ - фаза. Таким чином, при замиканні перемикача в RLC-контурі виникають затухаючі коливання. Тому цей контур і називають коливальним контуром. Декремент затухання коливань у контурі визначається активним опором за формулою:

$\beta ={\frac {R}{2L}}$.

Через цей коефіцієнт затухання можна виразити миттєву амплітуду коливань заряду конденсатора:

$A=A_{0}e^{-Rt/2L}=A_{0}e^{-\beta t}\$.

Різниця потенціалів $\Delta \phi \$ на обкладинках конденсатора пропорційна заряду $q$:

$\Delta \phi ={\frac {q}{C}}={\frac {A_{0}}{C}}e^{-Rt/2L}\sin(\omega t+\alpha _{0})\$

Залежність сили струму в коливальному контурі від часу має вигляд:

$I=-{\frac {dq}{dt}}=A_{0}e^{-Rt/2L}{{\frac {R}{2L}}\sin(\omega t+\alpha _{0})\ -\omega \cos(\omega t+\alpha _{0})\ }$.

Якщо в початковий момент часу $t=0\$ заряд на обкладках конденсатора дорівнював $q=q_{0}\$, а струм в контурі був відсутній, то початкову фаза коливань $\alpha _{0}$ та їхня амплітуда дорівнюють:

$\alpha _{0}={\text{arctg}}\;{\frac {\omega }{\beta }}={\text{arctg}}\ {\sqrt {{\frac {4L}{CR^{2}}}-1}}~,~~~A_{0}={\frac {q_{0}}{\sin \alpha _{0}}}={\frac {q_{0}}{\sqrt {1-{\frac {CR^{2}}{4L}}}}}$.

Незатухаючі коливання

Якщо опір контуру зменшувати до нуля $R\to \;0\$, тоді в $LC-\$ контурі виникають незатухаючі коливання, для яких справедливі такі співвідношення:

$\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}~,~~~\alpha _{0}={\frac {\pi }{2}}\$.

Заряди, напруги та струми в коливальному контурі будуть у цьому випадку рівні:

$q=q_{0}\sin(\omega _{0}t+\pi /2)\$

$\Delta \phi ={\frac {q_{0}}{C}}\sin(\omega _{0}t+\pi /2)\$

$I=-q_{0}\omega _{0}\cos(\omega _{0}t+\pi /2)\$

Період власних незатухаючих коливань дорівнює

$T={\frac {2\pi }{\omega _{0}}}=2\pi {\sqrt {LC}}$ (12)

Ця формула вперше була отримана в 1853 році В. Томсоном, тому і називається формулою Томсона.

Струм $I(t)$ в контурі можна переписати у вигляді:

$I=-q_{0}\omega _{0}\cos(\omega _{0}t+\pi /2)\ =q_{0}\omega _{0}\sin \omega _{0}t\$.

Тобто він відстає по фазі від різниці потенціалів на обкладках конденсатора на $\pi /2$. Амплітуда $I_{0}\$ сили струму, та амплітуда $\Delta \phi$ різниці потенціалів дорівнюють:

$I_{0}=q_{0}\omega _{0}=q_{0}/{\sqrt {LC}}~,~~~\Delta \phi =q_{0}/C\$

тому

$I_{0}=\Delta \phi _{0}\cdot {\sqrt {C/L}}=\Delta \phi _{0}/\rho ~,~~~\rho ={\sqrt {\frac {L}{C}}}$,

де величину $\rho$ називають хвилевим опором контуру.

Закон збереження енергії

Повна енергія контуру складається із суми двох енергій: енергії заряду $q(t)$, накопиченого на ємності, $W_{C}$ та магнітної енергії на індуктивності $W_{L}$:

$W_{LC}=W_{C}+W_{L}={\frac {q(t)^{2}}{2C}}+{\frac {LI(t)^{2}}{2}}={\frac {q(t)^{2}}{2C}}+{\frac {L}{2}}\left({\frac {dq(t)}{dt}}\right)^{2}$.

Максимальна енергія, що накопичується на ємності дорівнює максимальній енергії, що накопичується на індуктивності і дорівнює повній енергії контуру

$W_{C0}={\frac {C\Delta \phi _{0}^{2}}{2}}={\frac {q_{0}^{2}}{2C}}={\frac {LI_{0}^{2}}{2}}=W_{L0}=W_{LC}$.

Коливальні контури із джерелом напруги

Послідовний контур

Послідовний контур - це такий коливальний контур, в якому джерело живлення підключено послідовно.

Паралельний контур

Паралельний контур - це такий коливальний контур, в якому джерело живлення підключено паралельно.

Висновки

В класичному коливальному контурі максимальне значення заряду на обкладках конденсатора завжди визначається початковими умовами. Скільки заряду $q_{0}\$ посадили на ємність, стільки ж і буде брати участь в коливаннях у випадку незатухаючих коливань. У випадку затухаючих коливань, кількість заряду буде перманентно зменшуватися.

Див. також

• Гармонічний осцилятор
• Резонанс

Література

• Яворский Б. М., Детлаф А. А., Милковская Л. Б. Курс физики. Том 2. Электричество и магнетизм. Изд. 3-е, испр. И доп., М.:Высшая школа, 1966.- 412с.