Лема про змію

Лема про змію — інструмент, який використовується в математиці, особливо в гомологічній алгебрі, для побудови довгих точних послідовностей. Лема про змію є вірною в будь-якій абелевій категорії і відіграє ключову роль в гомологічній алгебрі і її застосуваннях, наприклад в алгебраїчної топології. Гомоморфізми, побудовані з її допомогою, зазвичай називають зв'язуючими гомоморфізмами.

Формулювання

У абелевій категорії (такий як категорія абелевих груп або категорія векторних просторів над фіксованим полем), розглянемо комутативну діаграму:

рядки якої є точними послідовностями, а 0 — нульовий об'єкт.

Тоді існує точна послідовність, що зв'язує ядра і коядра відображень a, b і c:

\ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker c~{\overset {d}{\longrightarrow }}~\operatorname {coker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c

де d — гомоморфізм, що називається зв'язуючим гомоморфізмом.

Більш того, якщо морфізм f є мономорфізмом, то і морфізм $\operatorname {ker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {ker} b$ — мономорфізм, і якщо g' є епіморфізмом, то і $\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c$ — епіморфізм.

Пояснення назви

Щоб пояснити походження назви леми, уявімо наведену вище діаграму наступним чином:

і зауважимо, що точна послідовність, існування якої стверджується у лемі, має форму повзучої змії.

Побудова відображень

Відображення між ядрами і відображення між коядрами природним чином індукуються даними (горизонтальними) відображеннями зважаючи на комутативність діаграми. Точність двох індукованих послідовностей природним чином випливає з точності рядків вихідної діаграми. Важлива частина твердження леми полягає в існуванні зв'язуючого гомоморфізму d, що включається в точну послідовність.

У випадку абелевих груп або модулів над деякими кільцем, відображення d може бути побудовано в такий спосіб:

Виберемо елемент x з ker c і розглянемо його як елемент C; так як g є сюр'єктивним, то існує y з B, такий, що g(y) = x. З огляду на комутативність діаграми, ми маємо g' (b(y)) =c(g(y)) =c(x) = 0 (так як x лежить в ядрі c), і отже b(y) лежить в ядрі g' . Так як нижній рядок є точним, то існує елемент z з A' , такий, що f' (z) = b(y). Елемент z є єдиним зважаючи на ін'єктивність f' . Тоді можна задати d(x) = z + im(a). Залишається перевірити, що d є коректно визначеним (тобто d(x) залежить тільки від x, а не від вибору y), що він є гомоморфізмом і що одержана послідовність є точною.

Якщо це зробити, теорема буде доведена для абелевих груп або для модулів над кільцем. У загальному випадку доведення можна переформулювати в термінах властивостей стрілок. Інший спосіб ведення — використання теореми Мітчела про вкладення.

Натуральність точної послідовності

В застосуваннях, часто потрібно довести, що отримана довга точна послідовність є "натуральною" (в розумінні натуральних перетворень). Ці властивості випливають із натуральності послідовності у лемі про змію.

А саме, якщо маємо комутативну діаграму

в якій усі рядки є точними, то лему про змію можна застосувати для "передньої" і "задньої частин діаграм", отримавши дві довгі точні послідовності. Ці точні послідовності пов'язані комутативною діаграмою

Застосування: точні послідовності ланцюгових комплексів

Нехай дано точну послідовність ланцюгових комплексів:

0\;{\xrightarrow {}}\;K\;{\xrightarrow {F}}\;L\;{\xrightarrow {G}}\;M\;{\xrightarrow {}}\;0

із гомоморфізмами ланцюгових комплексів $F,G.$

Точність послідовності в даному випадку означає, що усі відповідні послідовності модулів

0\;{\xrightarrow {}}\;K_{n}\;{\xrightarrow {F_{n}}}\;L_{n}\;{\xrightarrow {G_{n}}}\;M_{n}\;{\xrightarrow {}}\;0

є точними.

Одним із найважливіших наслідків леми про змію, що широко використовується у гомологічній алгебрі і алгебричній топології є твердження про те, що за таких умов існують гомоморфізми $\partial _{n}:H_{n}(M)\to H_{n-1}(K),$ які є частиною довгої точної послідовності:

\ldots {\xrightarrow {}}\;H_{n}(K)\;{\xrightarrow {F_{n}}}\;H_{n}(L)\;{\xrightarrow {G_{n}}}\;H_{n}(M)\;{\xrightarrow {\partial _{n}}}H_{n-1}(K)\;{\xrightarrow {}}\ldots

Доведення

Зважаючи на умови точності послідовності ланцюгових комплексів, одержується комутативна діаграма:

{\begin{array}{ccccccccc}0&\to &K_{n}&{\xrightarrow {F_{n}}}&L_{n}&{\xrightarrow {G_{n}}}&M_{n}&\to &0\\&&d'_{n}\downarrow \quad &&d_{n}\downarrow \quad &&d''_{n}\downarrow \quad &&\\0&\to &K_{n-1}&{\xrightarrow {F_{n-1}}}&L_{n-1}&{\xrightarrow {G_{n-1}}}&M_{n-1}&\to &0\end{array}}

в якій рядки є точними послідовностями.

Звідси одержується комутативна діаграма

{\begin{array}{ccccccccc}&&{\frac {K_{n}}{B_{n}(K)}}&{\xrightarrow {F_{n}}}&{\frac {L_{n}}{B_{n}(L)}}&{\xrightarrow {G_{n}}}&{\frac {M_{n}}{B_{n}(M)}}&\to &0\\&&{\bar {d'_{n}}}\downarrow \quad &&{\bar {d_{n}}}\downarrow \quad &&{\bar {d''_{n}}}\downarrow \quad &&\\0&\to &Z_{n-1}(K)&{\xrightarrow {F_{n-1}}}&Z_{n-1}(L)&{\xrightarrow {G_{n-1}}}&Z_{n-1}(M)&&\end{array}}

У цій діаграмі вертикальні відображення породжуються граничними відображеннями ланцюгових комплексів. Наприклад ${\bar {d_{n}}}:{\frac {L_{n}}{B_{n}(L)}}\to Z_{n-1}(L)$ визначається як:

{\bar {d_{n}}}(\alpha +B_{n}(L))=d_{n}(\alpha ).

Очевидно $\ker {\bar {\partial _{n}}}=H_{n}(L)$ і $\operatorname {coker} {\bar {\partial _{n}}}=H_{n-1}(L),$ тому з леми про змію відразу випливає існування гомоморфізмів $\partial _{n}.$

Див. також

Література

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Oxford 1969, Addison–Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9.
P. Hilton; U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6
Serge Lang: Algebra. 3rd edition, Springer 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, pp. 157–159 (online copy, с. 157, на «Google Books»)
Northcott, D. G. A first course of homological algebra. Reprint of 1973 edition. Cambridge University Press, Cambridge-New York, 1980. ISBN 0-521-29976-4