Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Визначник Грама системи векторів e 1 , e 2 , ..., e n в евклідовому просторі називається визначник матриці Грама цієї системи:
|
⟨
e
1
,
e
1
⟩
⟨
e
1
,
e
2
⟩
…
⟨
e
1
,
e
n
⟩
⟨
e
2
,
e
1
⟩
⟨
e
2
,
e
2
⟩
…
⟨
e
2
,
e
n
⟩
…
…
…
…
⟨
e
n
,
e
1
⟩
⟨
e
n
,
e
2
⟩
…
⟨
e
n
,
e
n
⟩
|
{\displaystyle {\begin{vmatrix}\langle e_{1},e_{1}\rangle &\langle e_{1},e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{1},e_{n}\rangle \\\langle e_{2},e_{1}\rangle &\langle e_{2},e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{2},e_{n}\rangle \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\langle e_{n},e_{1}\rangle &\langle e_{n},e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{n},e_{n}\rangle \\\end{vmatrix}}}
де
⟨
e
i
,
e
j
⟩
{\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle }
скалярний добуток векторів e i та e j .
Матриця Грама виникає з наступної задачі лінійної алгебри:
нехай в евклідовому просторі V система векторів e 1 , e 2 , ..., e n породжує підпростір U. Знаючи, чому дорівнюють скалярні добутки вектора x з U з кожним з цих векторів, знайти коефіцієнти розкладення вектора x по векторам e 1 , e 2 , ..., e n .x = x1 e 1 + x2 e 2 + ... + xn e n отримаємо систему лінійних рівнянь з матрицею Грама:
{
⟨
e
1
,
e
1
⟩
x
1
+
⟨
e
1
,
e
2
⟩
x
2
+
⋯
+
⟨
e
1
,
e
n
⟩
x
n
=
⟨
e
1
,
x
⟩
⟨
e
2
,
e
1
⟩
x
1
+
⟨
e
2
,
e
2
⟩
x
2
+
⋯
+
⟨
e
2
,
e
n
⟩
x
n
=
⟨
e
2
,
x
⟩
…
…
…
…
…
…
…
…
…
⟨
e
n
,
e
1
⟩
x
1
+
⟨
e
n
,
e
2
⟩
x
2
+
⋯
+
⟨
e
n
,
e
n
⟩
x
n
=
⟨
e
n
,
x
⟩
{\displaystyle {\begin{cases}\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\dots +\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {x} \rangle \\\langle \mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\dots +\langle \mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{2},\mathbf {x} \rangle \\\quad \dots \quad \dots \quad \dots \quad \dots \quad \dots \quad \dots \quad \dots \quad \dots \quad \dots \quad \\\langle \mathbf {e} _{n},\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{n},\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\dots +\langle \mathbf {e} _{n},\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{n},\mathbf {x} \rangle \\\end{cases}}}
Ця задача має єдиний розв'язок тоді і тільки тоді, коли вектори e 1 , e 2 , ..., e n лінійно незалежні . Через це рівність нулю визначника Грама системи векторів — критерій їх лінійної залежності.
Визначник Грама системи векторів дорівнює квадрату об'єму паралелограма натягнутого на ці вектори.
