Незалежність випадкових величин
Було запропоновано приєднати статтю Незалежні однаково розподілені випадкові величини до цієї статті або розділу, але, можливо, це варто додатково обговорити. Пропозиція з березня 2022. |
Було запропоновано приєднати цю статтю або розділ до Незалежність (теорія ймовірностей), але, можливо, це варто додатково обговорити. Пропозиція із серпня 2022. |
Означення Дискретні випадкові величини називаються незалежними, якщо для довільних множин :
Альтернативне означення Нехай дано сімейство випадкових величин , отже . Тоді ці випадкові величини попарно незалежні, якщо попарно незалежні породжені ними σ-алгебри . Випадкові величини незалежні в сукупності, якщо такі породжені ними σ-алгебри.
Визначення, дане вище, еквівалентно будь-якому іншому з наведених нижче. Дві випадкові величини незалежні тоді і лише тоді, коли:
- Для будь-яких ,
- ;
- Для будь-яких борелівських функцій випадкові величини незалежними;
- Для будь-яких обмежених борелівських функцій
- ;
Теорема про спадковість незалежності випадкових величин. Якщо та - незалежні випадкові величини, а - незалежні, невипадкові функції, які визначені на області можливих значень та відповідно, то та - незалежні випадкові величини.
- Нехай - розподіл випадкового вектора , - розподіл і - розподіл . Тоді незалежними тоді і лише тоді, коли
- ,
де позначає (прямий) добуток мір;
- Нехай - кумулятивні функції розподілу відповідно. Тоді незалежні тоді і лише тоді, коли
- ;
- Нехай випадкові величини дискретні. Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли
- .
- Нехай випадкові величини спільно абсолютно безперервні тобто їх спільний розподіл має щільність . Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли
- ,
де - щільність випадкових величин і відповідно.
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)