Обернений образ пучка — коваріантна конструкція у теорії пучків, що в певному значенні є оберненою до побудови прямого образа пучка.
Нехай дано пучок
на
і потрібно перенести
на
, використовуючи неперервне відображення
подібно до того, як будується прямий образ пучка.
Якщо спробувати імітувати визначення прямого образу взявши
![{\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2423cbfd2b9a6fa4a2ad679eccf9caefc98be473)
для кожної відкритої множини
в
, то відразу виникає проблема:
не обов'язково є відкритою множиною. Найкраще, що можна зробити — наблизити його відкритими множинами, і навіть в цьому випадку одержується передпучок, а не пучок. За означенням
є пучком асоційованим із передпучком
![{\displaystyle U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/651472c2ac568e69b10a4a3e591d0f24ff6a0266)
Тут
— відкрита підмножина
і індуктивна границя береться по всіх відкритих підмножини
простору
, що містять
.
Наприклад, якщо
— вкладення точки
в
, то
— росток
в цій точці.
Існування відображень обмеження, як і функторіальність оберненого образа, випливають із універсальної властивості індуктивних границь.
Еквівалентно, обернений образ можна побудувати за допомогою етальних (пучкових) просторів пучків. В тих же позначеннях, що і вище, нехай LG позначає етальний простір пучка G, тобто диз'юнктне об'єднання ростків
із топологією для якої базою є підмножини виду
де
— відкрита підмножина у
Тоді проєкція
є локальним гомеоморфізмом.
Нехай тепер
із топологією індукованою топологією прямого добутку. Тоді проєкція
є локальним гомеоморфізмом і E є етальним простором для X. Асоційований із ним пучок і є оберненим образом
Більш конкретно перетинами на відкритій підмножині
є неперервні відображення
для яких
Еквівалентно, це такі відображення
для яких
Коли розглядаються морфізм локально окільцьованих просторів
, наприклад схем в алгебричній геометрії , часто працюють з пучками
-модулів, де
— структурний пучок
. Тоді функтор
введений вище не підходить, оскільки результат його застосування, взагалі кажучи, не є пучком
-модулів. Щоб виправити це, в цій ситуації для пучка
-модулів
його обернений образ задається як
.
- Для точки
, маємо
.
— точний функтор.
, взагалі кажучи, тільки точний справа. Якщо
точний, f називається плоским.
є спряженим зліва до функтора прямого образа
, тобто існує натуральний ізоморфізм
.
- Проте морфізми
і
майже ніколи не є ізоморфізмами. Наприклад, якщо
позначає вкладення замкнутої підмножини, росток пучка
в точці
є ізоморфним до
якщо
належить
і є рівним
в іншому випадку.
- Подібне до попереднього пункту твердження є справедливим для пучків модулів, якщо замінити
на
.
- Iversen, Birger, Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3.
- Tennison, B. R. (1975), Sheaf theory, London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 20, Cambridge University Press, MR 0404390