Точний функтор

Точний функтор — функтор, який переводить точні послідовності в точні послідовності. Точні функтори є зручними для обчислень в гомологічній алгебрі, оскільки їх можна відразу застосовувати до резольвенти об'єктів. Велика частина гомологічної алгебри була побудована для того, щоб зробити можливою роботу з функторами, які є в певному сенсі близькими до точних.

Означення

Нехай $P$ і $Q$ — абелеві категорії і $F:P\to Q$ — адитивний функтор. Розглянемо довільну коротку точну послідовність:

$0\to A\to B\to C\to 0$

об'єктів $P$.

Якщо $F$ — коваріантний функтор, $F$ називається:

• Напівточним, якщо $F(A)\to F(B)\to F(C)$ є точною послідовністю;
• Точним зліва, якщо $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$ є точною послідовністю;
• Точним справа, якщо $F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$ є точною послідовністю;
• Точним, якщо $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$ є точною послідовністю.

Якщо $G$ — контраваріантний функтор з $P$ в $Q$, то $G$ називається:

• Напівточним, якщо $G(C)\to G(B)\to G(A)$ є точною послідовністю;
• Точним зліва, якщо $0\to G(C)\to G(B)\to G(A)$ є точною послідовністю;
• Точним справа, якщо $G(C)\to G(B)\to G(A)\to 0$ є точною послідовністю;
• Точним, якщо $0\to G(C)\to G(B)\to G(A)\to 0$ є точною послідовністю.

Не обов'язково брати в якості вихідної послідовність саме такого виду; наприклад, точний функтор можна визначити як функтор, що переводить точні послідовності виду $A\to B\to C$ в точні послідовності.

Існує також більш загальне означення яке вводить поняття точних функторів для більш загальних категорій, не обов'язково абелевих: коваріантний функтор точний зліва тоді і тільки тоді, коли він переводить скінченні границі в границі. При заміні слова «коваріантний» на «контраваріантний» або «зліва» на «справа» потрібно одночасно замінити «границі» на «кограниці». Точний функтор — функтор, точний зліва і справа.

Приклади

• Будь-яка еквівалентність абелевих категорій є точним функтором.
• Найбільш важливий приклад точного зліва функтора — функтор Hom. Якщо ${\mathcal {A}}$ — довільна локально мала абелева категорія і $A$ — її об'єкт, то $\mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(A,X)$ — коваріантний адитивний функтор в категорію абелевих груп . Цей функтор є точним тоді і тільки тоді, коли $A$ є проективним модулем. Відповідно, контраваріантний функтор $\mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(X,A)$ є точним тоді і тільки тоді, коли $A$ є ін'ективним модулем.
• Нехай $k$ є полем і $V$ — векторним простором над $k$. Функтор, що ставить векторному простору у відповідність його спряжений простір $V^{*}=\mathrm {Hom} _{k}(V,k)$ є контраваріантним точним функтором з категорії $k$-векторних просторів у себе (оскільки $k$ є ін'єктивним $k$-модулем).
• Нехай $X$ — топологічний простір і розглянемо абелеву категорію всіх пучків абелевих груп на $X$. Функтор, що ставить у відповідність кожному такому пучку $F$ групу глобальних перетинів $F(X)$ є точним зліва.
• Якщо $T$ — правий $R$-модуль, то можливо визначити функтор $H_{T}$ з категорії лівих $R$-модулів в $\mathbf {Ab}$ за допомогою тензорного добутку $R:H_{T}(X)=T\otimes X$. Цей функтор є точним справа; він є точним тоді і тільки тоді, коли $T$ — плоский модуль.
• Нехай $R$ — комутативне кільце, $S$ — його мультиплікативна підмножина. Функтор, що кожному $R$-модулю $M$ ставить у відповідність модуль часток $M_{S}$ є точним функтором із категорії $R$-модулів у категорію $R_{S}$-модулів.

Література

• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. Т. 2 (вид. 2nd). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.