Одиниця сім'ї множин

Одиниця (сім'ї множин) — поняття теорії множин з курсу теорія міри та інтеграла Лебега. Поняття одиниці сім'ї множин має важливе значення для визначення алгебри множин, в математичному аналізі та теорії ймовірностей.

Означення

Множина $E$ називається одиницею сім'ї множин ${\mathfrak {G}}$, якщо вона належить ${\mathfrak {G}}$ і якщо для будь-якого $A\in {\mathfrak {G}}$ має місце рівність $A\cap E=A$.

Таким чином, одиниця сім'ї множин ${\mathfrak {G}}$ це максимальна множина цієї системи, що містить усі інші елементи сім'ї ${\mathfrak {G}}$.

Кільце множин з одиницею називається алгеброю множин.

Приклади

1. Для будь-якої множини $A$ система ${\mathfrak {R}}(A)$ всіх її підмножин являє собою алгебру множин з одиницею $E=A$.

2. Для будь-якої непорожньої множини $A$ система {Ø, A}, що складається з множини $A$ і порожньої множини Ø, творить алгебру множин з одиницею $E=A$.

3. Система всіх скінченних підмножин довільної множини $A$ являє собою кільце множин. Це кільце буде алгеброю тоді і тільки тоді, коли сама множина $A$ скінченна.

4. Система всіх обмежених підмножин числової прямої - це кільце множин, що не містить одиниці.

Література

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)

Див. також

• Алгебра (теорія множин)
• Міра множини