Одинична гіпербола

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Одиничну гіперболу позначено синім, її спряжену зеленим, асимптоти червоним.

В геометрії одинична гіпербола — це набір точок декартової площини, які задовольняють рівняння У теорії невизначених ортогональних груп одинична гіпербола є основою для альтернативної радіальної довжини (довжина вектора від початку координат до точки)

Одиничне коло повністю оточує свій центр, тоді як одиничну гіперболу для цього необхідно доповнити її спряженою . Ця пара гіпербол має спільні асимптоти і . Коли мова йде про спряжену одиничну гіперболу, альтернативна радіальна довжина визначається як

Одинична гіпербола є частковим випадком прямокутної гіперболи з конкретними орієнтацією, розташуванням і масштабом. Отже, її ексцентриситет може бути однозначно обчислений і дорівнює [1]

Одинична гіпербола знаходить застосування в задачах аналітичної геометрії, де коло доводиться замінити гіперболою. Яскравим прикладом є зображення простору-часу як псевдоевклідового простору, де асимптоти одиничної гіперболи утворюють світловий конус. Крім того, результатом вивчення Ґреґуаром де Сен-Венсаном площ гіперболічних секторів стали функція логаритмування та сучасна параметризація гіперболи площами секторів.

Коли розуміються поняття спряжених гіпербол і гіперболічних кутів, класичні комплексні числа, побудовані на понятті одиничного кола, можна замінити числами, побудованими на понятті одиничної гіперболи.

Асимптоти

[ред. | ред. код]

Зазвичай асимптоти визначаються як лінії, що збігаються до кривої. В алгебраїчній геометрії і теорії алгебраїчних кривих існує інший підхід. Крива спочатку розглядається як крива деякої проєктивної площини в однорідних координатах. Тоді асимптоти – це лінії, котрі є дотичними до проєктивної кривої в нескінченній точці, таким чином зникає потреба в концепції відстані та збіжності. У стандартних однорідних координатах пряма на нескінченності задається рівнянням z = 0. Наприклад, К. Г. Гібсон писав: [2]

Для стандартної прямокутної гіперболи у ℝ2, відповідна проєктивна крива це що проходить через у точках і . І , і прості на з дотичними , ; таким чином ми отримуємо вже знайоме поняття асимптот.

Діаграма Мінковського

[ред. | ред. код]

Діаграму Мінковського малюють у просторово-часовій площині, де простір обмежують лише одним виміром (у координатах та ). Як одиниці відстані і часу на такій площині використовують

У кожному із зазначених масштабів координат рух фотонів утворює світові лінії, що йдуть під кутом до кожної осі (кутовий коефіцієнт ). Герман Мінковський використовував для опису перетворень Лоренца п'ять елементів: одинична гіпербола, її спряжена гіпербола, її осі, діаметр та спряжений діаметр. Осі гіперболи є осями координат статичної системи відліку. Діаметр одиничної гіперболи відповідає системі відліку, що рухається зі стрімкістю , де , а — кінцева точка діаметра, що лежить на одиничній гіперболі. Спряжений діаметр є просторовою гіперплощиною одночасності (на якій лежать одночасні події) у системі відліку, що відповідає стрімкості a. Ця одинична гіпербола є калібрувальною гіперболою [3] [4]. Зазвичай у теорії відносності гіпербола з вертикальною віссю вважається основною:

Вісь часу йде від низу до верху графіка — формальність, прийнята Річардом Фейнманом у його знаменитих діаграмах. Просторові осі йдуть перпендикулярно до осі часу. Подія, що відповідає "тут і зараз", лежить у початку координат. [5]

Домовленість малювати вісь часу вертикально закріпилася через Мінковського в 1908 році, а також була використана в ілюстрації на 48 сторінці книги Еддінгтона «Природа фізичного світу» (1928).

Параметризація

[ред. | ред. код]
Гілки одиничної гіперболи утворюються точками і залежно від параметра гіперболічного кута .

Почнімо з параметризації повернутої одиничної гіперболи за допомогою експоненціальної функції:

Ця гіпербола може бути приведена до традиційної одиничної гіперболи за допомогою лінійного відображення (повороту), що має матрицю

Параметр називається гіперболічним кутом і є аргументом гіперболічних функцій.

Можна знайти ранню згадку параметризації одиничної гіперболи в "Елементи Динаміки" (1878) Вільяма Кліфорда. Він описує квазігармонійний рух по гіперболі наступним чином:

Рух має деякі цікаві аналогії з еліптичним гармонійним рухом. ... Прискорення , отже, воно завжди пропорційне відстані від центру, як і в еліптичному гармонійному русі, але спрямоване від центру. [6]

Як частковий випадок конічного перерізу, гіпербола може бути параметризована шляхом додавання точок на ній.

Зафіксуймо точку Е на гіперболі. Точки, в яких пряма, проведена через E паралельно AB, перетинає гіперболу вдруге, називатимемо сумою точок A і B .
Для гіперболи з фіксованою точкою сума точок і це точка . У параметризації і це додавання відповідає додаванню параметра t.

Алгебра на комплексній площині

[ред. | ред. код]

Тоді як одиничне коло має велике значення на комплексній площині, одинична гіпербола є ключовим поняттям для площини подвійних чисел, що мають вигляд , де . Легко показати, що . Отже, дія на площину полягає в тому, щоб поміняти місцями координати. Зокрема, ця дія міняє місцями одиничну гіперболу та її спряжену, а також пари спряжених діаметрів гіпербол.

Усі точки гіперболи можна виразити через параметр гіперболічного кута як

, де j = (0,1).

Права гілка одиничної гіперболи відповідає додатному коефіцієнту. Фактично ця гілка є образом експоненціального відображення, що діє на вісь j. Оскільки

,

ця гілка є групою відносно множення. На відміну від групи, що утворює коло, група, що утворює одиничну гіперболу, не є компактною. Подібно до звичайної комплексної площини, точка не на діагоналях має полярний розклад за допомогою параметра гіперболічного кута та альтернативної радіальної довжини

Наведені варіанти запису називають алгебраїчний, тригонометричний та експоненціальний відповідно.

Список літератури

[ред. | ред. код]
  1. Eric Weisstein Rectangular hyperbola from Wolfram Mathworld
  2. C.G. Gibson (1998) Elementary Geometry of Algebraic Curves, p 159, Cambridge University Press ISBN 0-521-64140-3
  3. Anthony French (1968) Special Relativity, page 83, W. W. Norton & Company
  4. W.G.V. Rosser (1964) Introduction to the Theory of Relativity, figure 6.4, page 256, London: Butterworths
  5. A.P. French (1989) "Learning from the past; Looking to the future", acceptance speech for 1989 Oersted Medal, American Journal of Physics 57(7):587–92
  6. William Kingdon Clifford (1878) Elements of Dynamic, pages 89 & 90, London: MacMillan & Co; on-line presentation by Cornell University Historical Mathematical Monographs
  • F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, Figure 4.33, page 70, Academic Press, ISBN 0-12-329650-1.