Описаний многокутник

Описана трапеція

Описаний многокутник, відомий також як тангенціальний многокутник — це опуклий многокутник, що містить вписане коло. Це таке коло, відносно якого кожна сторона описаного многокутника є дотичною. Двоїстий многокутник описаного многокутника — це многокутник, який має описане коло, що проходить через усі його вершини.

Всі трикутники є описаними для якогось кола, як і всі правильні многокутники з довільним числом сторін. Добре вивчена група описаних многокутників — описані чотирикутники, куди входять ромби і дельтоїди.

Описи

Опуклий многокутник має вписане коло тоді й лише тоді, коли всі його внутрішні бісектриси кутів конкурентні (перетинаються в одній точці) і ця спільна точка перетину є центром уписаного кола.

Існує описаний многокутник з n послідовними сторонами $a_{1},\dots ,a_{n}$ тоді і тільки тоді, коли система рівнянь

$x_{1}+x_{2}=a_{1},\quad x_{2}+x_{3}=a_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+x_{1}=a_{n}$

має розв'язок $(x_{1},\dots ,x_{n})$ у додатних дійсних числах. Якщо такий розв'язок існує, то $x_{1},\dots ,x_{n}$ є дотичними довжинами многокутника (довжинами від вершини до точки дотику на стороні).

Єдиність і неєдиність

Якщо число сторін n непарне, то для будь-якого заданого набору довжин сторін $a_{1},\dots ,a_{n}$, що задовольняють критерію, наведеному вище, існує тільки один описаний многокутник. Але якщо n парне, їх існує нескінченне число. Наприклад, у разі чотирикутника, коли всі сторони рівні, ми будемо мати ромб з будь-якою величиною гострого кута і всі ці ромби будуть описані навколо якого-небудь кола.

Радіус вписаного кола

Якщо довжини сторін описаного многокутника дорівнюють $a_{1},\dots ,a_{n}$, то радіус вписаного кола дорівнює

$r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}$

де K — площа многокутника, а s — його півпериметр. (Оскільки всі трикутники мають уписане коло, ця формула застосовна до всіх трикутників.)

Інші властивості

• Для описаного многокутника з непарним числом сторін усі сторони рівні тоді й лише тоді, коли кути рівні (правильний многокутник). Описаний многокутник з парним числом сторін має всі сторони рівними тоді й лише тоді, коли кути почергово рівні.
• В описаному многокутнику з парним числом сторін сума довжин непарних сторін дорівнює сумі довжин парних сторін.
• Описаний многокутник має більшу площу, ніж будь-який інший многокутник з тим самим периметром і такими самими внутрішніми кутами в тій самій послідовності.
• Барицентр будь-якого описаного многокутника, барицентр його точок межі і центр уписаного кола колінеарні і барицентр многокутника міститься між двома іншими зазначеними центрами і вдвічі далі від центра вписаного кола, ніж від барицентра межі.

Описаний трикутник

Всі трикутники мають деяке вписане коло. Трикутник називають тангенціальним трикутником розглянутого трикутника, якщо всі точки дотику тангенціального трикутника кола є вершинами розглянутого трикутника.

Описаний шестикутник

Конкурентні головні діагоналі

• В описаному шестикутнику ABCDEF, згідно з теоремою Бріаншона, головні діагоналі AD, BE і CF конкурентні.

Література

• Albrecht Hess. On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2014. — Т. 14 (26 грудня). — С. 389–396.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Icons of Mathematics. An exploration of twenty key images. — Mathematical Association of America, 2011. — Т. 45. — (Dolciani Mathematical Expositions)
• Michael De Villiers. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — 2011. — Вип. 95 (March).
• Owen Byer, Felix Lazebnik, Deirdre Smeltzer. Methods for Euclidean Geometry. — 2010. — ISBN 9780883857632.
• Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović. The IMO Compendium. — Springer, 2006. — ISBN 978-1-4419-9853-8.
• Tom M. Apostol, Mamikon A. Mnatsakanian. Figures Circumscribing Circles // American Mathematical Monthly. — 2004. — Т. 111 (December). — С. 853–863. — DOI:10.2307/4145094. Процитовано 6 квітня 2016.
• Tom Apostol. =erratum // American Mathematical Monthly. — 2005. — Т. 112, вип. 10 (December). — DOI:10.1080/00029890.2005.11920274.