Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Немає
перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще
не перевіряли на відповідність правилам проекту.
В лінійній алгебрі і функціональному аналізі для лінійного оператора
L
:
V
→
W
{\displaystyle \ L:V\to W}
Ядром лінійного оператора називається наступна підмножина
V
{\displaystyle \ V}
ker
(
L
)
=
{
v
∈
V
:
L
(
v
)
=
0
}
{\displaystyle \ker {(L)}=\{v\in V:\;L(v)=0\}}
вона утворює лінійний підпростір в просторі
V
.
{\displaystyle \ V.}
Образом лінійного відображення називається наступна підмножина
W
{\displaystyle \ W}
im
(
L
)
=
{
w
∈
W
:
w
=
L
(
v
)
,
v
∈
V
}
{\displaystyle \operatorname {im} (L)=\{w\in W:\;w=L(v),v\in V\}}
вона утворює лінійний підпростір в просторі
W
.
{\displaystyle \ W.}
Ядро оператора ще називають нуль-простором оператора і позначають:
null
(
L
)
.
{\displaystyle \operatorname {null} (L).}
Два елементи з V мають однаковий образ в W тоді і тільки тоді коли їх різниця належить ядру L :
L
(
v
)
=
L
(
w
)
⟺
(
v
−
w
)
∈
ker
(
L
)
.
{\displaystyle L(v)=L(w)\quad \iff \quad (v-w)\in \ker {(L)}.}
Тобто образ L є ізоморфним до фактор-простору в V утвореного ядром:
im
(
L
)
≅
V
/
ker
(
L
)
.
{\displaystyle {\text{im}}(L)\cong V/\ker(L){\text{.}}}
(див. Першу теорему про ізоморфізми для лінійних просторів). Коли V та W є просторами скінченної розмірності n та m відповідно, тоді в них можна вибрати базиси і задати лінійний оператор L множенням на матрицю A розміру m -на-n :
v
↦
A
v
.
{\displaystyle v\mapsto \mathbf {A} v.}
Визначення ядра матриці записується як
ker
(
A
)
=
{
x
∈
V
:
A
x
=
0
}
{\displaystyle \ker {(\mathbf {A} )}=\{x\in V:\;\mathbf {A} x=0\}}
СЛАР .
Між розмірностями образу і ядра існує наступне співвідношення (rank-nullity theorem):
dim
(
ker
L
)
+
dim
(
im
L
)
=
dim
(
V
)
{\displaystyle \dim(\ker {L})+\dim(\operatorname {im} {\,L})=\dim(V)}
Число
dim
(
im
L
)
{\displaystyle \dim(\operatorname {im} {\,L})}
рангом
L
{\displaystyle \ L}
rank
(
L
)
{\displaystyle \operatorname {rank} {(L)}}
rk
(
L
)
.
{\displaystyle \operatorname {rk} {(L)}.}
Ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.
Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні підпростори :
Назва
Визначення
Простір в якому існує
Розмірність
простір стовпців чи образ
im(A) чи range(A)
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
r
нульпростір чи ядро
ker(A) чи null(A)
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
n — r
простір рядків чи кообраз (Coimage [en] im(AT ) чи range(AT )
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
r
лівий нульпростір чи коядро ker(AT ) чи null(AT )
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
m — r
В
R
n
ker
(
A
)
=
(
i
m
(
A
T
)
)
⊥
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;\;\ker {(A)}=(\mathrm {im} (A^{T}))^{\perp }}
ортогональним доповненням простору рядків.
В
R
m
ker
(
A
T
)
=
(
i
m
(
A
)
)
⊥
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\;\;\ker {(A^{T})}=(\mathrm {im} (A))^{\perp }}
