Теореми про ізоморфізми

Теореми про ізоморфізми — це три теореми в абстрактній алгебрі, що описують зв'язок між гомоморфізмами, фактор-множинами і під-об'єктами.

Існують версії цих теорем для груп, кілець, модулів, векторних просторів, алгебр Лі та інших алгебраїчних структур. В універсальній алгебрі ці теореми узагальнюються через алгебри довільної сигнатури і конгруенції.

Групи

Перша теорема

Якщо $\varphi \colon G\to H$ гомоморфізм груп, тоді:

1. Ядро $\varphi$ є нормальною підгрупою в $G$;
2. Образ $\varphi$ є підгрупою в $H$;
3. Образ $\varphi$ є ізоморфним до фактор-групи $^{G}\!{\big /}\!_{\ker \varphi }$.

Друга теорема

Якщо $G$ — група, $S$ — підгрупа в $G$, $N$ — нормальна підгрупа в $G$, тоді:

1. Добуток $SN$ є підгрупою в $G$;
2. Перетин $S\cap N$ є нормальною підгрупою в $S$;
3. Фактор-групи $(SN)/N$ та $S/(S\cap N)$ є ізоморфними.

Третя теорема

Якщо $G$ — група, $N$, $K$ — нормальні підгрупи в $G$, такі що $K\subseteq N$, тоді:

1. $^{N}\!{\big /}\!_{K}$ є нормальною підгрупою в $^{G}\!{\big /}\!_{K}$;
2. Фактор-група $^{^{G}\!{\big /}\!_{K}}\!{\Big /}\!_{^{N}\!{\big /}\!_{K}}$ ізоморфна до $^{G}\!{\big /}\!_{N}$.

Кільця

Зміст теорем для кілець є подібним, але поняття нормальної підгрупи замінюється на ідеалом кільця.

Перша теорема

Якщо $\varphi \colon R\to S$ гомоморфізм кілець, тоді:

1. Ядро $\varphi$ є ідеалом в $R$;
2. Образ $\varphi$ є підкільцем в $S$;
3. Образ $\varphi$ є ізоморфним до фактор-кільця $^{R}\!{\big /}\!_{\ker \varphi }$.

Друга теорема

Якщо $R$ — кільце, $S$ — підкільце в $R$, $I$ — ідеал в $R$, тоді:

1. Сума $S+I$ є підкільцем в $R$;
2. Перетин $S\cap I$ є ідеалом в $R$;
3. Фактор-кільця $^{(S+I)}\!{\big /}\!_{I}$ та $^{S}\!{\big /}\!_{(S\cap I)}$ є ізоморфними.

Третя теорема

Якщо $R$ — кільце, $A$, $B$ — ідеали $R$, такі що $B\subseteq A$, тоді:

1. $^{A}\!{\big /}\!_{B}$ є ідеалом в $^{R}\!{\big /}\!_{B}$;
2. Фактор-кільце $^{^{R}\!{\big /}\!_{B}}\!{\Big /}\!_{^{A}\!{\big /}\!_{B}}$ ізоморфно до $^{R}\!{\big /}\!_{A}$.

Модулі

Теореми про ізоморфізм для векторних просторів та абелевих груп є частковим випадком теорем для модулів. Для векторних просторів детальніше див. Ядро та образ лінійного оператора.

Перша теорема

Якщо $\varphi \colon M\to N$ гомоморфізм модулів, тоді:

1. Ядро $\varphi$ є підмодулем в $M$;
2. Образ $\varphi$ є підмодулем в $N$;
3. Образ $\varphi$ є ізоморфним до фактор-модуля $^{M}\!{\big /}\!_{\ker \varphi }$.

Друга теорема

Якщо $M$ — модуль, $S$, $T$ — підмодулі в $M$, тоді:

1. Сума $S+T$ є підмодулем в $M$;
2. Перетин $S\cap T$ є підмодулем в $M$;
3. Фактор-модулі $^{(S+T)}\!{\big /}\!_{T}$ та $^{S}\!{\big /}\!_{(S\cap T)}$ є ізоморфними.

Третя теорема

Якщо $M$ — модуль, $S$, $T$ — підмодулі в $M$, такі що $T\subseteq S$, тоді:

1. $^{S}\!{\big /}\!_{T}$ є підмодулем в $^{M}\!{\big /}\!_{T}$;
2. Фактор-множина $^{^{M}\!{\big /}\!_{T}}\!{\Big /}\!_{^{S}\!{\big /}\!_{T}}$ ізоморфна до $^{M}\!{\big /}\!_{S}$.

Див. також

• Теорема про гомоморфізми

Джерела

• Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)

• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)