Повна категорія

Категорія називається повною у малому, якщо у ній будь-яка (мала) діаграма має границю. Дуальне поняття — коповна у малому категорія, тобто та, у якій будь-яка мала діаграма має кограницю. Аналогічно визначається кінцева повнота і взагалі α-повнота для будь-якого регулярного кардинала α. З них усіх найбільш використовуваною є повнота у малому, тому категорії, повні у малому, називаються просто повними. Відзначимо, що це не означає існування границь взагалі усіх (не обов'язково малих) діаграм, бо така категорія з необхідністю була б передпорядком.

Категорія, яка є одночасно повною і коповною, називається біповною.

Приклади

• Наступні категорії біповні:
  • категорія множин ${\mathcal {S}}et$;
  • категорія груп ${\mathcal {G}}rp$;
  • категорія кілець ${\mathcal {R}}ing$;
  • категорія абелевих груп ${\mathcal {A}}b$;
  • категорія топологічних просторів ${\mathcal {T}}op$;
  • категорія компактних хаусдорфових просторів ${\mathcal {C}}omp{\mathcal {H}}$;
  • категорія малих категорій ${\mathcal {C}}at$;
• Наступні категорії скінченно біповні, але не є повними або коповними:
  • категорія скінченних множин $f{S}et$;
  • категорія скінченновимірних векторних просторів над полем $K$ $fd-{\mathcal {V}}ect_{K}$;
  • категорія скінченних груп $f{\mathcal {G}}rp$;
• Взагалі, якщо $\mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}$ — категорія моделей деякої алгебраїчної теорії ${\mathcal {T}}$, то $\mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}$ повна і коповна, так як вона рефлективна у $\mathrm {Func} ({\mathcal {T}},{\mathcal {S}}et)$. Нагадаємо, що алгебраїчна теорія допускає лише умову на операції, які є тотожностями (жодних кванторів!). Скажімо, категорія полів не є категорією моделей алгебраїчної теорії, тому попереднє твердження до неї незастосовне. Вона не є повною або коповною.
• (теорема про границю з параметром) Якщо категорія ${\mathcal {C}}$ повна (коповна), то категорія $\mathrm {Func} ({\mathcal {A}},{\mathcal {C}})$ повна (коповна) для будь-якої категорії ${\mathcal {A}}$, при чому границі обраховуються поточково.
• Передпорядок повний, якщо у ньому існує найбільший елемент і будь-яка множина елементів має точну верхню грань. Аналогічно, він коповний, якщо має найменший елемент і будь-яка множина елементів має точну нижню грань.
• Категорія метричних просторів ${\mathcal {M}}etr$ скінченно повна, але не є повною і не має навіть скінченних кодобутків.

Властивості

• Якщо у категорії існує термінальний об'єкт, будь-яка пара паралельних морфізмів $f,g:a\to b$ має урівнювач і для будь-яких двох об'єктів існує добуток, то категорія є скінченно повною. Якщо крім того інсують усі малі добутки об'єктів, то категорія повна у малому.
• Дуально, якщо у категорії існує початковий об'єкт, для будь-яких двох паралельних морфізмів існує коурівнювач та існує [кодобуток]] усіх пар об'єктів, то категорія є скінченно коповною.
• (Фрейд) Якщо мала категорія повна у малому, то вона є передпорядком.
• Якщо категорія $C$ повна у малому, то для будь-якої малої категорії $A$ будь-який функтор $F\colon A\to C$ має праве розширення Кана $\mathrm {Ran} _{K}F$ за будь-яким функтором $K\colon A\to B$, при чому будь-яке таке розширення Кана є поточковим. Твердження явно випливає з подання поточкового розширення Кана як границі.

Література

• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
• Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
• F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra 1. Basic Category Theory. — Encyclopaedia of Mathematics and its Applications. — Cambridge : Cambridge University Press, 1994. — Т. 1. — 345 p. — ISBN 0 521 44178 1.