Послідовність Маєра — Вієторіса

Послідовність Маєра — Вієторіса — довга точна послідовність, яка пов'язує гомології чи когомології топологічного простору з гомологіями чи когомологіями двох відкритих множин, що його покривають і їх перетину.

Названа на честь двох австрійських математиків, Вальтера Маєра і Леопольда Вієторіса.

Послідовність Маєра — Вієторіса є натуральною.

Послідовність Маєра — Вієторіса можна написати для різних теорій (ко)гомологій, зокрема сингулярних а також для всіх теорій, які задовольняють аксіоми Ейленберга — Стінрода. Вона також узагальнюється на випадок відносних (ко)гомологій.

Послідовність Маєра — Вієторіса є аналогом теореми Зейферта — Ван Кампена для фундаментальної групи.

Формулювання

Припустимо, що топологічний простір X є рівним об'єднанню відкритих підмножин A і B. Тоді отримується точна послідовність, що і називається послідовністю Маєра — Вієторіса:

${\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\rightarrow \,0.\end{aligned}}$

Відображення $i\colon A\cap B\to A$ , $j\colon A\cap B\to B$ , $k\colon A\to X$ , $l\colon B\to X$ є відображеннями включення і $\oplus$ позначає пряму суму абелевих груп.

Відображення границі

Відображення границі ∂_* може бути задане в такий спосіб.^[1] Нехай елемент в H_n (X) представляється n-циклом х, який, при застосуванні барицентричного поділу наприклад, може бути записаний як сума двох n-ланцюгів u і v образи яких лежать повністю в A і B, відповідно. Таким чином, ∂х = ∂(u + v) = 0, так що ∂u = -∂v. Це означає, що образи обох цих граничних (n-1)-циклів містяться в перетині A∩B. Тоді ∂_*([X]) це клас ∂u в H_n-1(A∩B). При цьому вибір розкладу u + v не впливає на [∂u].

Відображення в послідовності залежать від вибору порядку для A і B. Зокрема, границя змінює знак, якщо A і B міняються місцями.

Редуковані гомології

Для редукованих гомологій також задовольняють послідовності Маєра — Вієторіса, в припущенні, що A І B мають непорожній перетин.^[2] Послідовність ідентична але закінчується, як:

$\cdots \rightarrow {\tilde {H}}_{0}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,{\tilde {H}}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H}}_{0}(X)\rightarrow \,0.$

Відносні гомології

Для відносних гомологій послідовність Маєра — Вієторіса записується як:

\cdots \rightarrow H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A,C)\oplus H_{n}(B,D)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X,Y)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\rightarrow \cdots

Приклади використання

Гомологія сфери

Щоб обчислити гомології k-вимірної сфери S^k , нехай A і B півсфери в X з перетином гомотопічно еквівалентним (k−1)-вимірній екваторіальній області. Оскільки k-вимірні півкулі є гомеоморфними k-вимірним кулям, групи гомологій A і B є тривіальними. Натомість їх перетин гомотопічно еквівалентний сфері розмірності (k−1).

Послідовність Маєра — Вієторіса має вигляд
$\cdots \rightarrow 0\rightarrow {\tilde {H}}_{n}\left(S^{k}\right){\xrightarrow {\partial _{*}}}\,{\tilde {H}}_{n-1}\left(S^{k-1}\right)\rightarrow 0\rightarrow \cdots \!$

З точності послідовності випливає, що гомоморфізм ∂_* є ізоморфізмом. Використовуючи редуковані гомології для 0-сфери (двох точок) в якості бази математичної індукції, одержуємо^[3]
${\tilde {H}}_{n}\left(S^{k}\right)\cong \delta _{kn}\,\mathbb {Z} =\left\{{\begin{matrix}\mathbb {Z} &n=k\\0&n\neq k\end{matrix}}\right.$ ^[4]

Пляшка Клейна

Для обчислення гомологій пляшки Клейна, запишемо її, як об'єднання двох стрічок Мебіуса A і B склеєних уздовж їх граничної кола . Тоді A, B і їх перетин A∩ B є гомотопно еквівалентними колу. Нетривіальна частина послідовності дає^[5]

0\rightarrow H_{2}(X)\rightarrow \mathbb {Z} \ {\xrightarrow {\overset {}{\alpha }}}\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \rightarrow \,H_{1}(X)\rightarrow 0

а з інших елементів послідовності випливає рівність нулю гомологій розмірностей більше, ніж 2. Образом 1 при відображенні α є (2, −2) оскільки граничне коло стрічки Мебіуса двічі обертається навколо центрального кола. Зокрема α є ін'єктивним відображенням, тож гомологічна група розмірності 2 також є нульовою. Нарешті, вибираючи (1, 0) і (1, -1) як базис для Z², отримуємо
${\tilde {H}}_{n}\left(X\right)\cong \delta _{1n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2})=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}&n=1\\0&n\neq 1\end{matrix}}\right.$

Тор

Нехай $X=\mathbf {T} ^{n}=S^{1}\times S^{1}$ — звичайний тор. Тоді X = A∪B, де A і B є відкритими підмножинами як зображено на малюнку.

Множини A і B є гомотопно еквівалентними колу і тому їх групи гомологій рівні групам гомологій кола. Натомість A∩B є гомотопно еквівалентним двом окремим колам і тому його групи гомологій є рівними прямим сумам груп для двох кіл. Також ${\tilde {H}}_{0}(X)\simeq \mathbb {Z} .$

Нетривіальна частина послідовності для редукований гомологій має вигляд

0\rightarrow {\tilde {H}}_{2}(X)\rightarrow \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \ {\xrightarrow {\overset {}{\alpha }}}\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\xrightarrow {\overset {}{\beta }}}\,{\tilde {H}}_{1}(X){\xrightarrow {\overset {}{\partial ^{*}}}}\mathbb {Z} \rightarrow 0

а з інших елементів послідовності випливає рівність нулю гомологій розмірностей більше, ніж 2.

Відображенні α задане як $\alpha (n,m)=(n+m,-n-m)$ . Ядром цього відображення є підгрупа елементів виду (n, -n), яка є ізоморфною групі цілих чисел. Звідси також ${\tilde {H}}_{2}(X)\simeq \mathbb {Z} .$

Образ відображення α відповідно теж є ізоморфним групі цілих чисел, як і образ і ядро відображення β.Як наслідок ядро і образ гомоморфізму ∂_* теж є ізоморфним групі цілих чисел і відповідно ${\tilde {H}}_{1}(X)\simeq \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} .$

Остаточно:

{\tilde {H}}_{n}\left(S^{1}\times S^{1}\right)=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &n=1\\\mathbb {Z} &n=2\\0&n\neq 1,2\end{matrix}}\right.

Букет просторів

Розклад простору *X —* букета двох сфер сфер K and L. Цей розклад дозволяє обчислити гомологічну групу простору X.

Нехай X буде букет двох просторів K і L, і припустимо, крім того, що виділена точка є деформаційним ретрактом з відкритих околів U ⊂ K і V ⊂ L. Позначивши A = K∪V і B = U∪L одержуємо, що A∪B = X and A∩B = U∪V, які є стягуваними просторами згідно означень. Тоді із редукованої версії послідовності одержуємо:^[6]

{\tilde {H}}_{n}(K\vee L)\cong {\tilde {H}}_{n}(K)\oplus {\tilde {H}}_{n}(L)

для всіх розмірностей n.

На малюнку показаний букет двох сфер. Для цього конкретного випадку, використовуючи результат вище для 2-сфер:

{\tilde {H}}_{n}\left(S^{2}\vee S^{2}\right)\cong \delta _{2n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} )=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &n=2\\0&n\neq 2\end{matrix}}\right.

Надбудови

Якщо простір X є надбудовою SY простору Y, нехай A і B позначають доповнення у X верхньої і нижньої вершин. Тоді X є рівним A∪B і A з B є стягуваними просторами. Перетин A∩B є гомотопно еквівалентним простору Y. Тому із послідовності Маєра — Вієторіса випливає, що для всіх n,^[7]

${\tilde {H}}_{n}(SY)\cong {\tilde {H}}_{n-1}(Y)$

На малюнку справа показано, що коло X є надбудовою простору Y двох точок. Загалом k-сфера є надбудовою (k − 1)-сфери і звідси знову можна отримати вираз для гомологічних груп сфер.

Натуральність

Якщо ƒ є неперервним відображенням із X₁ у X₂, то існує гомоморфізм ƒ_∗ гомологічних груп ƒ_∗ : H_k(X₁) → H_k(X₂) і при цьому $(g\circ h)_{*}=g_{*}\circ h_{*}$ .

Подібно, якщо X₁ = A₁∪B₁ і X₂ = A₂∪B₂ і для відображення ƒ виконуються умови ƒ(A₁) ⊂ A₂ іƒ(B₁) ⊂ B₂, тоді граничний гомоморфізм ∂_∗ послідовності Маєра — Вієторіса комутує з ƒ_∗.^[8] Інакше кажучи^[9] отримується така комутативна діаграма:

{\begin{matrix}\cdots &H_{n+1}(X_{1})&\to &H_{n}(A_{1}\cap B_{1})&\to &H_{n}(A_{1})\oplus H_{n}(B_{1})&\to &H_{n}(X_{1})&\to &H_{n-1}(A_{1}\cap B_{1})&\to &\cdots \\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }\\\cdots &H_{n+1}(X_{2})&\to &H_{n}(A_{2}\cap B_{2})&\to &H_{n}(A_{2})\oplus H_{n}(B_{2})&\to &H_{n}(X_{2})&\to &H_{n-1}(A_{2}\cap B_{2})&\to &\cdots \\\end{matrix}}

Примітки

↑ Hatcher 2002 ст. 150
↑ Spanier 1966 ст. = 187
↑ Hatcher 2002 Example 2.46 ,ст. 150
↑ Hatcher 2002 ст = 384
↑ Hatcher 2002 ст. = 151
↑ Hatcher 2002 Exercise 31 ст. 158
↑ Hatcher, 2002, Exercise 32 on page 158
↑ Massey, 1984, с. 208
↑ Eilenberg та Steenrod, 1952, Theorem 15.4

Література

Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1, MR 1867354, архів оригіналу за 19 травня 2018, процитовано 2 серпня 2018.

[1] Hatcher 2002 ст. 150

[2] Spanier 1966 ст. = 187

[3] Hatcher 2002 Example 2.46 ,ст. 150

[4] Hatcher 2002 ст = 384

[5] Hatcher 2002 ст. = 151

[6] Hatcher 2002 Exercise 31 ст. 158

[7] Hatcher, 2002, Exercise 32 on page 158

[8] Massey, 1984, с. 208

[9] Eilenberg та Steenrod, 1952, Theorem 15.4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]