Проєктивний об'єкт

У теорії категорій, поняття проєктивного об'єкта узагальнює проєктивні модулі. Проєктивні об'єкти у абелевих категоріях широко використовуються у гомологічній алгебрі. Двоїстим до проєктивних об'єктів є ін'єктивні об'єкти.

Означення

Об'єкт $P$ у категорії ${\mathcal {C}}$ називається проєктивним якщо для довільного епіморфізма $e:E\twoheadrightarrow X$ і морфізма $f:P\to X$ , існує морфізм ${\overline {f}}:P\to E$ для якого $e\circ {\overline {f}}=f$ , тобто існує комутативна діаграма:

У локально малій категорії ${\mathcal {C}}$ $P$ є проєктивним якщо і тільки якщо функтор Hom

\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}

зберігає епіморфізми.^[1]

Абелеві категорії

Нехай ${\mathcal {C}}$ — локально мала абелева категорія. У цьому випадку об'єкт $P\in {\mathcal {C}}$ називається проєктивним об'єктом якщо

\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab}

є точним функтором, де $\mathbf {Ab}$ є категорією абелевих груп.

Іншими еквівалентними означеннями у цьому випадку є

Функтор Hom $\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$ переводить коядра об'єктів у коядра.
Функтор Hom $\operatorname {Hom} (P,-)$ переводить ковирівнювачі у ковирівнювачі.
Функтор Hom $\operatorname {Hom} (P,-)$ переводить кодекартові квадрати у кодекартові квадрати.
Кожна послідовність виду

0\to U\to V\to P\to 0

є точною у

{\mathcal {C}}

тоді і тільки тоді коли вона розщеплюється, тобто

V

є ізоморфним прямій сумі

U\oplus P

.

Властивості

Кодобуток двох проєктивних об'єктів є проєктивним об'єктом.^[2]
Ретракт проєктивного об'єкта є проєктивним.^[3]

Достатньо проєктивних об'єктів

Нехай ${\mathcal {A}}$ — абелева категорія. Кажуть, що ${\mathcal {A}}$ має достатньо проєктивних об'єктів якщо для кожного об'єкта $A$ у ${\mathcal {A}}$ існує проєктивний об'єкт $P$ у ${\mathcal {A}}$ і точна послідовність

P\longrightarrow \longrightarrow 0.

Іншими словами $p\colon P\to A$ є епіморфізмом.

Приклади

Твердження про те, що всі множини є проєктивними об'єктами є еквівалентним аксіомі вибору.
Проєктивний об'єктами у категорії абелевих груп є вільні абелеві групи.
Нехай $R$ — кільце з 1. Розглянемо (абелеву) категорію лівих $R$ -модулів ${\mathcal {M}}_{R}$ . Проєктивними об'єктами у ${\mathcal {M}}_{R}$ є проєктивні ліві R-модулі. Зокрема $R$ є проєктивним об'єктом у ${\mathcal {M}}_{R}.$
Категорія лівих (правих) $R$ -модулів має достатньо проєктивних об'єктів. Це випливає з того, що для кожного лівого (правого) $R$ -модуля $M$ , можна взяти вільний (а відтак проєктивний) $R$ -модуль $F$ породжений елементами $M$ і канонічна проєкція $\pi \colon F\to M$ буде необхідним сюр'єктивним відображенням.

Примітки

↑ Mac Lane, Saunders (1978). Categories for Working Mathematician (вид. Second). New York, NY: Springer New York. с. 114. ISBN 1441931236. OCLC 851741862.
↑ Awodey, Steve (2010). Category theory (вид. 2nd). Oxford: Oxford University Press. с. 72. ISBN 9780199237180. OCLC 740446073.
↑ Awodey, Steve (2010). Category theory (вид. 2nd). Oxford: Oxford University Press. с. 33. ISBN 9780199237180. OCLC 740446073.

Див. також

[1] Mac Lane, Saunders (1978). Categories for Working Mathematician (вид. Second). New York, NY: Springer New York. с. 114. ISBN 1441931236. OCLC 851741862.

[2] Awodey, Steve (2010). Category theory (вид. 2nd). Oxford: Oxford University Press. с. 72. ISBN 9780199237180. OCLC 740446073.

[3] Awodey, Steve (2010). Category theory (вид. 2nd). Oxford: Oxford University Press. с. 33. ISBN 9780199237180. OCLC 740446073.

[1]

[2]

[3]