Розшарування (теорія гомотопій)

У алгебричній топології, розділі математики, розшаруванням (також розшаруванням Гуревича, фібрацією) називається неперервне відображення топологічних просторів, яке задовольняє властивість підняття гомотопії для кожного топологічного простору. Розшарування відіграють важливу роль у теорії гомотопій, підобласті алгебричної топології. Грубо кажучи, розшарування є парою просторів із відображенням одного на інше, де будь-яку гомотопію у просторі на який здійснюється відображення можна перенести вздовж даного відображення на вихідний простір відображення.

Пов'язаними є також поняття розшарування Серра і квазірозшарування.

Означення

Розшарування Гуревича

Розшаруванням (також розшаруванням Гуревича, фібрацією) називається неперервне відображення $p\colon E\longrightarrow B$, яке має властивість підняття гомотопії для всіх топологічних просторів $X$. Тобто для топологічного простору $X$ і всіх неперервних відображень

$f\colon X\times I\longrightarrow B$

і неперервних відображень

${\bar {f}}\colon X\times \{0\}\to E$,

для яких діаграма

${\begin{matrix}\qquad {\bar {f}}\colon X\times \{0\}&\longrightarrow &E\\\operatorname {incl} {\bigg \downarrow }&&{\bigg \downarrow }p\\\qquad f\colon X\times I\ &\longrightarrow &B\end{matrix}}$

є комутативною, існує відображення

$F\colon X\times I\longrightarrow E$

для якого $f=p\circ F$ і $F|_{X\times \{0\}}={\bar {f}}$. Таке відображення називається накриваючою гомотопією.

Простір $E$ називається загальним простором, $B$ — базовим простором розшарування. Прообраз $p^{-1}(b)$ точки $b\in B$ називається шаром над $b$.

Якщо базовий простір $B$ є лінійно зв'язаним, то шари над різними точками $B$ є гомотопно еквівалентними.

Розшарування Серра

Розшарування Серра — неперервне відображення $p\colon E\longrightarrow B$, яке задовольняє властивість підняття гомотопії для всіх CW-Комплексів $X$.

Для цього достатнім (і, отже, еквівалентним) є факт виконання властивості підняття гомотопії для просторів $X=\left[0,1\right]^{n}$ для $n=0,1,2,\ldots$. Звідси також еквівалентною є вимога виконання властивості підняття гомотопії для всіх поліедрів — топологічних просторів гомеоморфних симпліційним комплексам. Це твердження також часто використовується для означення розшарування Серра.

Квазірозшарування

Квазірозшаруванням називається неперервне відображення $p\colon E\longrightarrow B$, для якого породжений гомоморфізм відносних гомотопічних груп

$p_{*}:\pi _{i}(E,p^{-1}(x);y)\rightarrow \pi _{i}(B,x)$

для усіх $x\in B,y\in p^{-1}(x)$ і всіх $i\geqslant 0$ є ізоморфізмом.

Якщо базовий простір є лінійно зв'язаним, то всі шари квазірозшарування є слабко гомотопно еквівалентними.

Кожне розшарування Серра є квазірозшаруванням.

Пов'язані означення

Відображення $f\colon E_{1}\to E_{2}$ між загальними просторами двох розшарувань $p_{1}\colon E_{1}\to B$ і $p_{2}\colon E_{2}\to B$ над одним базовим простором називається гомоморфізмом розшарувань якщо відображення на діаграмі нижче комутують:

Якщо додатково для $f$ існує такий гомоморфізм розшарувань $g\colon E_{2}\to E_{1}$, що $f\circ g$ і $g\circ f$ є гомотопними до одиничних відображень $Id_{E_{2}}$ і $Id_{E_{1}}$ за допомогою гомотопії, що є гомоморфізмом розшарувань, то $f$ називається гомотопною еквівалентністю розшарувань.

Якщо задане розшарування $p\colon E\to B$ і неперервне відображення $f\colon A\to B$, нехай $f^{*}(E)=\{(a,e)\in A\times E|f(a)=p(e)\}$ і відображення $p_{f}\colon f^{*}(E)\to A$є проєкцією на перший множник у добутку множин. При цьому відображення на діаграмі нижче комутують:

Тоді $p_{f}\colon f^{*}(E)\to A$ є розшаруванням, яке називається індукованим розшаруванням розшарування $p\colon E\to B$ за допомогою відображення $f\colon A\to B$.

Властивості

• Якщо $p\colon E\longrightarrow B$ є розшаруванням і $b_{1},b_{2}\in B$, то шари $p^{-1}(b_{1}),\ p^{-1}(b_{2})$ над цими двома довільними точками є гомотопно еквівалентними. Таким чином поняття розшарування Гуревича певною мірою є гомотопно теоретичним аналогом поняття локально тривіального розшарування для якого всі шари є гомеоморфними.
• Розшарування $p\colon E\longrightarrow B$ над стягуваним простором є гомотопно еквівалентним як розшарування (тобто за допомогою гомотопії, що є гомоморфізмом розшарувань) до тривіального розшарування (добутку просторів) $B\times F\longrightarrow B.$ Більш загально, якщо $B$ є локально стягуваним простором, то $p\colon E\longrightarrow B$ є локально гомотопно еквівалентним як розшарування до тривіального розшарування. Це продовжує опис розшарування Гуревича як гомотопно теоретичного аналога локально тривіальних розшарувань.
• Для всіх розшарувань Гуревича зі стягуваним базовим простором існує перетин.

Перетин одержується із підняття гомотопії $F:X\times [0,1]\to X$ між сталим відображенням $F_{0}$ і одиничним відображенням $F_{1}$ (існування такої гомотопії випливає з означення стягуваних просторів). Оскільки для сталого відображення очевидно існує підняття, то воно існує і для гомотопії й для одиничного відображення $F_{1}$. Але підняття для одиничного відображення буде перетином.

• Кожне неперервне відображення $f\colon A\to B$ можна записати як композицію відображень $A\to E_{f}\to B$ у якій перше відображення є гомотопною еквівалентністю, а друге — розшаруванням. Зокрема за $E_{f}$ можна взяти множину пар $(a,\gamma )$ де $a\in A$ і $\gamma \colon I\to B$ є шляхом для якого $\gamma (0)=f(a),$ де $I=[0,1]$ позначає одиничний відрізок. На просторі $E_{f}=\{(a,\gamma )\in A\times B^{I}|\gamma (0)=f(a)\}$ вводиться індукована топологія із простору $A\times B^{I},$ де $B^{I}$ є простором неперервних відображень $I\to B$ із компактно-відкритою топологією. Відображення $p\colon E_{f}\to B$ задане як $p(a,\gamma )=\gamma (1)$ є розшаруванням. Також $A$ можна розглядати як підпростір $E_{f}$ ідентифікуючи $a\in A$ із парою $(a,\gamma _{f(a)}),$ де $\gamma _{f(a)}$ позначає сталий шлях у точці $f(a)$. Включення $i:A\to E_{f}$ є гомотопною еквівалентністю і $f=p\circ i$ тобто $f$ є рівною композиції гомотопної еквівалентності й розшарування.

Приклади

• Нехай $F$ — будь-який топологічний простір і

$p:B\times F\to B$

є проєкцією на перший фактор. Тоді $p$ є розшаруванням Гуревича. Таке розшарування називається тривіальним.

• Натомість локально тривіальне розшарування може не бути розшаруванням Гуревича. Як приклад головне розшарування для групи $G=(\mathbb {R} ^{+},\cdot )$ додатних дійсних чисел з операцією множення над простором $X$ одержаним склеюванням двох дійсних прямих вздовж додатних чисел.

Детальніше нехай $X=(\mathbb {R} \times \{0,1\})\mathbin {/} {\sim }$, де відношення еквівалентності породжується усіма еквівалентностями виду $(x,0)\sim (x,1),\ x\in \mathbb {R} ^{+}$ і $q:\mathbb {R} \times \{0,1\}\to X$ є проєкцією на фактор-простір. Якщо позначити $U=q(\mathbb {R} \times \{0\}),\ V=q(\mathbb {R} \times \{1\}),$ то ці множини утворюють відкрите покриття простору $X$. Неперервне відображення ${\hat {g}}:\mathbb {R} \times \{0,1\}\to \mathbb {R} ,$ задане як ${\hat {g}}(x\times i)=x$ породжує неперервне відображення $g:X\to \mathbb {R} .$

Нехай $f=g|_{U\cap V}:U\cap V\to \mathbb {R} ^{+}$ є обмеженням цього відображення. Тоді $f$ є неперервним відображенням яке не можна продовжити до неперервного відображення із $X$ на $\mathbb {R} ^{+}$ (якби таке продовження ${\hat {f}}$ існувало, і ${\hat {f}}(0)=y$ то для будь-якої послідовності, що збігається до 0 в $X$ границею образів елементів цієї послідовності має бути $y$; але $q(1/n,1)$ є прикладом такої послідовності і ${\hat {f}}(q(1/n,1))=f(q(1/n,1))=1/n$ є послідовністю, що не має границі у $\mathbb {R} ^{+}$).

Нехай $E_{U}=U\times G,\ E_{V}=V\times G$ є тривіальними головними розшаруваннями, де як і вище $G=(\mathbb {R} ^{+},\cdot )$. З цих двох розшарувань можна побудувати головне розшарування над $X$ за допомогою склеювання над $U\cap V$ за допомогою $G$-ізоморфізму $\varphi _{f}:E_{U}|_{U\cap V}\ {\overset {\simeq }{\to }}\ E_{V}|_{U\cap V}$ для якого $\varphi _{f}(x,g)={\bigl (}x,f(x)\cdot g{\bigr )}.$ Одержане розшарування буде локально тривіальним оскільки його обмеження на $U$ і $V$ є тривіальними, але для нього не існує перетинів, зокрема воно не є тривіальним. Дійсно з існування перетину $s_{X}$ випливало б існування також перетинів на тривіальних розшаруваннях $E_{U},\ E_{V}$ і відповідно неперервних відображень $S_{U}:U\to \mathbb {R} ^{+}$ і $S_{V}:V\to \mathbb {R} ^{+}$ для яких також $S_{V}(x)=f(x)\cdot S_{U}(x),\ \forall x\in U\cap V$ і як наслідок ${\textstyle f(x)={S_{V}(x) \over S_{U}(x)},\ \forall x\in U\cap V.}$ Але тоді також можна задати неперервне продовження ${\overline {f}}:X\to \mathbb {R} ^{+}$ на весь простір задане як ${\textstyle {\overline {f}}(x)={\frac {S_{V}{\bigl (}q(g(x),1){\bigr )}}{S_{U}{\bigl (}q(g(x),0){\bigr )}}}}$. Одержана суперечність із неможливістю такого продовження доводить відсутність перетину $s_{X}$.

Оскільки простір $X$ є стягуваним, то відсутність перетинів також доводить, що це головне розшарування не є розшаруванням Гуревича.

• Якщо додатково базовий простір є паракомпактним то локально тривіальне розшарування є розшаруванням Гуревича.

• Розшарування Гопфа історично було одним із перших нетривіальних прикладів розшарування.
• Розшарування Гопфа є частковим випадком розшарувань над комплексними проєктивними просторами виду $p:S^{2n+1}\to \mathbf {CP} ^{n}$ із шарами $S^{1}.$ Розшарування Гопфа є частковим випадком для n=1 оскільки ${CP}^{1}$ є гомеоморфним сфері.
• Ще одним узагальненням розшарування Гопфа, є розшарування над кватерніонним проєктивним простором $p:S^{4n+3}\to \mathbf {HP} ^{n}$ із шарами $Sp^{1},$ тобто групою одиничних кватерніонів.
• Розшарування Серра $p:SO(3)\to S^{2}$ одержується із дії групи поворотів SO(3) на сфері S². Шари цього розшарування є рівними SO(2). Як топологічний простір SO(3) є гомеоморфним дійсному проєктивному простору RP³ і тому S³ є подвійним накриттям SO(3). Звідси випливає, що розшарування Гопфа є універсальним накриттям.
• Попередній приклад можна узагальнити на розшарування $p:SO(n+1)\to S^{n}$ із шарами SO(n) для будь-якого невід'ємного цілого числа n (хоча шари не є одноточковими лише для n > 1) яке одержується із дії спеціальної ортогональної групи SO(n+1) на n-гіперсфері.
• Кожне накриття топологічного простору є розшаруванням Гуревича.
• Більш загально, кожне локально тривіальне розшарування є розшаруванням Серра. У цьому випадку шари для різних точок не тільки є гомотопно еквівалентними, але і гомеоморфними.
• Приклад розшарування Серра, що не є розшаруванням Гуревича можна одержати якщо взяти $E=\{(x,y):x=y,x\in I\}\cup \bigcup _{n\in \mathbb {N} \atop n>0}\{(x,y):x\in I,y=1+1/n\}$ і $B=I=\{x:0\leq x\leq 1\}.$ Тоді відображення $p(x,y)=x$ є розшаруванням Серра, але шари $p^{-1}(0)$ і $p^{-1}(1)$ не є гомотопно еквівалентними, тому воно не є розшаруванням Гуревича.
• Приклад квазірозшарування, що не є розшаруванням Серра можна одержати якщо взяти $E=\left([-1,0]\times \{1\}\cup \{0\}\times [0,1]\cup [0,1]\times \{0\}\right)$ і $B=[-1,1].$ Тоді відображення $p(x,y)=x$ є квазірозшаруванням, але не розшаруванням Серра.

Довга точна гомотопічна послідовність

Для розшарувань Серра (а також, більш загально, для квазірозшарувань) для $p:E\rightarrow B$ існує довга точна послідовність груп гомотопії n

$\ldots \rightarrow \pi _{n+1}(B,y)\rightarrow \pi _{n}(F,x)\rightarrow \pi _{n}(E,x)\rightarrow \pi _{n}(B,y)\rightarrow \pi _{n-1}(F,x)\rightarrow \ldots$.

Тут $x\in E,y=p(x)\in B$ і $F=p^{-1}(x)$ є шаром.

Приклад: розшарування Гопфа $p:S^{3}\rightarrow S^{2}$ із шаром $S^{1}$. Як відомо, $\pi _{n}(S^{1})=0$ для всіх $n\geqslant 2$, з цього випливає $\pi _{n}(S^{3})\cong \pi _{n}(S^{2})$ для всіх $n\geqslant 3$, зокрема $\pi _{3}(S^{2})=\mathbb {Z}$.

Див. також

• Гомотопічні групи
• Кофібрація
• Локально тривіальне розшарування
• Накриваюча гомотопія
• Розшарування Гопфа

Література

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. Архів оригіналу за 20 лютого 2012. Процитовано 14 вересня 2020.
• Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619
• Spanier, Edwin (1966). Algebraic Topology. McGraw-Hill Series in Higher Mathematics. New York: McGraw-Hill.
• Albrecht Dold, René Thom: Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte. Ann. of Math. (2) 67 1958 239–281. pdf [Архівовано 4 березня 2016 у Wayback Machine.]
• J. P. May.: Weak equivalences and quasifibrations. In Groups of self-equivalences and related topics (Montreal, PQ, 1988), volume 1425 of Lecture Notes in Math., pages 91–101. Springer, Berlin, 1990.
• Jean-Pierre Serre: Homologie singulière des espaces fibrés. Applications. Ann. of Math. (2) 54, (1951). 425–505. pdf [Архівовано 4 березня 2016 у Wayback Machine.]