Симетрична функція

Симетрична функція від n змінних — це функція, значення якої на будь-якому n-кортежі аргументів таке саме, як і значення на будь-якій перестановці цього n-кортежу. Якщо, наприклад $f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},x_{3})$, функція може бути симетричною на всіх змінних або парах $(x_{1},x_{2})$, $(x_{2},x_{3})$ або $(x_{1},x_{3})$. Хоча це може стосуватися будь-яких функцій, для яких n аргументів мають одну і ту саму область визначення, найчастіше мають на увазі многочлени, які в цьому разі є симетричними многочленами. Поза многочленами теорія симетричних функцій бідна і мало використовується.

Симетризація

Якщо задано деяку функцію f від n змінних зі значеннями в абелевій групі (тобто в групі з комутативною операцією), симетричну функцію можна побудувати підсумовуванням значень f за всіма перестановками аргументів. Аналогічно, антисиметричну функцію можна побудувати як суму за всіма парними перестановками, від якої віднімається сума за всіма непарними перестановками. Ці операції, звичайно, незворотні і можуть призвести до тотожно рівної нулю функції для нетривіальної функції f. Єдиний випадок, коли f можна відновити, коли відомі симетризація функції і антисиметризація, це коли n = 2 і абелева група допускає ділення на 2 (операція, зворотна подвоєнню). В цьому випадку f дорівнює половині суми симетризації і антисиметризації.

Приклади

• Розглянемо функцію

$f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$

За визначенням, симетрична функція від n змінних має властивість, що

$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{2},x_{1},...,x_{n})=f(x_{3},x_{1},...,x_{n},x_{n-1})$ і т.д.

У загальному випадку функція залишається тією самою за будь-якої перестановки змінних. Це означає, що в нашому випадку

$(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})$

і так далі для всіх перестановок $x_{1},x_{2},x_{3}$

• Розглянемо функцію

$f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}$

Якщо переставити місцями x і y, функція набуде вигляду

$f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2}$,

що збігається з початковою функцією f(x,y).

• Тепер розглянемо функцію

$f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}$

Якщо переставити x і y місцями, отримаємо

$f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.$

Ця функція, очевидно, не буде тією самою, що й початкова, якщо a ≠ b, отже, вона не симетрична.

Додатка

U-статистика

У статистиці статистика на n-вибірці (функція від n змінних), отримана шляхом бутстрепу симетризації статистики на вибірці з k елементів, дає симетричну функцію від n змінних, звану U-статистикою. Приклади включають вибіркове середнє та вибіркову дисперсію.

Див. також

• Симетричний многочлен
• Елементарний симетричний многочлен
• Квазісиметрична функція
• Кільце симетричних функцій

Література

• Macdonald I. G. Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials. New Brunswick, New Jersey. University Lecture Series, 12. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 pp. ISBN 0-8218-0770-6 MR[1]
• Macdonald I. G. Symmetric Functions and Hall Polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 1st edition. — 1979.
• Макдональд И.. Симметрические функции и многочлены Холла. — Мир, 1984. — 224 с.
• David F. N., Kendall M. G., Barton D. E. Symmetric Function and Allied Tables. — Cambridge University Press, 1966.
• Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan. Combinatorics: The Rota Way. — Cambridge University Press, 2009. — xii+396 с. — ISBN 978-0-521-73794-4.
  — §5.1 Symmetric functions, p. 222–225.
  — §5.7. Symmetric Functions Over Finite Fields, p. 259–270.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М. : «Наука», 1979.
  — §33. Симметрические функции, с. 121.