Теорема Адамара про лакуни (також теорема Островського — Адамара) — твердження про неможливість аналітичного продовження степеневого ряду, у якого коефіцієнти дорівнюють нулю для доданків, що задовольняють деяким вимогам, за межі круга збіжності, навіть на точки границі круга. Названа на честь математиків Олександра Островського і Жака Адамара.
Розглянемо функцію, яка визначається степеневим рядом виду
, збіжним у крузі радіусу 1, де
— деяка зростаюча послідовність натуральних чисел. Тоді, якщо існує деяка додатна константа
, така, що
для всіх
, то функція
є лакунарною, тобто для неї не існує аналітичного продовження навіть на точки на границі круга.
Припустимо, що деяка
є регулярною для
, тобто для
існує аналітичне продовження в деякий окіл цієї точки. Без втрати загальності можна вважати
. Дійсно замінивши
на
, де
, отримуємо ряд тієї ж форми, коефіцієнти якого за модулем рівні попередньому; тож новий ряд також має радіус збіжності 1, згідно з радикальною ознакою Коші. Тоді існує круг
і голоморфна функція
на
для яких
.
Виберемо ціле число
таке що
і визначимо функцію
.
Зауважимо, що
і якщо
, але
, тоді маємо
![{\displaystyle |\psi (z)|={\frac {1}{2}}|z^{k}|\cdot |1+z|<{\frac {1}{2}}|z^{k}|\cdot 2\leqslant 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70c5b87ee0233a74d0fe0e3ea54c111a63351d4)
Тому
є компактною підмножиною
. З неперервності
випливає, що існує круг
такий що
. Зауважимо, що
.
Визначимо
. Розкладемо
в степеневий ряд в околі 0:
.
Порівняємо цю формулу із формулою одержаною заміною
у степеневий ряд для
на
:
![{\displaystyle (F\circ \psi )(z)=\sum _{j}a_{j}\left({\frac {1}{2}}\left(z^{k}+z^{k+1}\right)\right)^{p_{j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1828b8bd73f0e489b853fcf5e55e5871bb5516e4)
Зауважимо що j-й доданок цього ряду містить степені
від
до
, а (j+1)-й доданок містить степені
від
до
. Але умови теореми щодо
і вибір
гарантують що
, тож степені у різних доданках є різними відрізняються.
Як наслідок,
.
Вираз у правій стороні збігається при
на крузі
, оскільки
є голоморфною всюди в цьому крузі. Тому збігається і вираз у лівій стороні. Іншими словами,
збігається для всіх
. Зокрема цей ряд збігається для всіх
в околі 1, тож із теореми Абеля випливає, що його радіус збіжності не є рівним 1, що суперечить припущенню.
- Бибербах Л. Аналитическое продолжение, пер. с нем. — М.: Наука, 1967. (рос.)
- Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of One Complex Variable (вид. 2), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2905-X