Радикальна ознака Коші

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Правило Лейбніца Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Границя доданків Пряме порівняння Порівняння границь д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Стиснення Коші Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Радикальна ознака Коші — ознака збіжності числового ряду:

Якщо для числового ряду $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ з невід'ємними членами існує таке число $d$, $0<d<1$, що, починаючи з деякого номера, виконується нерівність ${\sqrt[{n}]{a_{n}}}<d$ то даний ряд збіжний.

Дана ознака була вперше розглянута французьким математиком Огюстеном-Луї Коші, який опублікував доведення у своєму підручнику Cours d'analyse (1821).

В англомовній літературі дану ознаку частіше називають просто "Root test"[1], опускаючі ім'я автора.

Гранична форма

Умова радикальної ознаки рівносильна наступному :

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<1$

Тобто можна сформулювати радикальну ознаку збіжності знакододатного ряду в граничній формі:

Якщо для ряду $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\ (a_{n}\geq \;0)\ \exists \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=l\;$, то якщо $l<1$ ряд збігається, якщо $l>1$ ряд розбігається.

Доведення

1. Нехай $l<1$. Очевидно, що існує таке $\varepsilon >0$, що $l+\varepsilon <1$. Оскільки існує границя $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=l$, то підставивши в означення границі вибране $\varepsilon$ одержимо:

$\vert {\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l\vert <\varepsilon$

Розкривши модуль, одержимо:

$-\varepsilon <{\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l<\varepsilon$

$l-\varepsilon <{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<l+\varepsilon$

$(l-\varepsilon )^{n}<a_{n}<(l+\varepsilon )^{n}$

Оскільки $l+\varepsilon <1$, то ряд $\sum _{n=1}^{\infty }(l+\varepsilon )^{n}$ збігається. Тоді за ознакою порівняння ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ теж збігається.

2. Нехай $l>1$. Очевидно, що існує таке $\varepsilon >0$, що $l-\varepsilon >1$. Оскільки існує границя $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=l$, то підставивши в означення границі вибране $\varepsilon$ одержимо:

$\vert {\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l\vert <\varepsilon$

Розкривши модуль, одержимо:

$-\varepsilon <{\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l<\varepsilon$

$l-\varepsilon <{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<l+\varepsilon$

$(l-\varepsilon )^{n}<a_{n}<(l+\varepsilon )^{n}$

Оскільки $l-\varepsilon >1$, то ряд $\sum _{n=1}^{\infty }(l-\varepsilon )^{n}$ розбіжний. Тоді за ознакою порівняння ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ теж розбіжний.

Приклади

1. Ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}$

збіжний, оскільки виконується умова граничної форми радикальної ознаки

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}={\frac {1}{2}}$

2. Розглянемо ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }{({\frac {n-1}{n+1}})}^{n(n-1)}$

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{({\frac {n-1}{n+1}})}^{n-1}=\lim _{n\to \infty }{(1-{\frac {2}{n+1}})}^{n-1}=e^{-2}<1\Rightarrow$ряд збіжний

Див. також

• Ознака д'Аламбера

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)