У алгебричній топології теорема Вайтхеда стверджує, що якщо неперервне відображення f між CW-комплексами X і Y породжує ізоморфізми на всіх групах гомотопій, то f є гомотопною еквівалентністю. Теорему довів у 1949 році англійський математик Джон Вайтхед для демонстрації корисності введеного ним поняття CW-комплексу.
Нехай X і Y є топологічними просторами. Неперервне відображення
![{\displaystyle f\colon X\to Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e)
для будь якої точки x у X і довільного n ≥ 1 породжує гомоморфізм
![{\displaystyle f_{*}\colon \pi _{n}(X,x)\to \pi _{n}(Y,f(x)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3479a9c4e5ac20cddf94ccf795d709c5aab5a405)
де πn(X,x) позначає n-ну групу гомотопій простору X із виділеною точкою x. (Для n = 0, π0(X) позначає множину компонент лінійної зв'язності простору X.) Відображення f називається слабкою гомотопною еквівалентністю якщо функція
![{\displaystyle f_{*}\colon \pi _{0}(X)\to \pi _{0}(Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad88c8cb86587e81153b9131d17c68f0b543a463)
є бієкцією і гомоморфізми f* є ізоморфізмами для всіх x у X і всіх n ≥ 1. (Якщо X і Y є лінійно зв'язними то перша умова виконується автоматично, а другу можна перевірити для довільної єдиної точки x у X.)
Теорема Вайтхеда стверджує, що слабка гомотопна еквівалентність між двома CW-комплексами є гомотопною еквівалентністю, тобто для відображення f: X → Y існує гомотопно обернене g: Y → X. Як наслідок таке твердження є справедливим і для просторів X і Y, що є гомотопно еквівалентними до CW-комплексів.
Поєднуючи твердження теореми із теоремою Гуревича одержується важливий наслідок: неперервне відображення
між однозв'язними CW-комплексами, що породжує ізоморфізми на всіх всіх сингулярних гомологічних групах (із цілочисловими коефіцієнтами) є гомотопною еквівалентністю.
Простори із ізоморфними групами гомотопій можуть не бути гомотопно еквівалентними
[ред. | ред. код]
У твердженні теореми не достатньо вимагати ізоморфізму груп πn(X) і πn(Y) для всіх n для того щоб простори X і Y були гомотопно еквівалентні. Необхідно щоб ізоморфізми груп гомотопій породжувалися відображеннями f : X → Y. Наприклад нехай X= S2 × RP3 і Y= RP2 × S3. Тоді X і Y мають ізоморфні фундаментальні групи, що є ізоморфними Z/2, і універсальні накриваючі простори гомеоморфні S2 × S3; тому їх групи гомотопій є ізоморфними. З іншої сторони їх групи гомологій є різними і тому X і Y не є гомотопно еквівалентними.
Теорема Вайтхеда не є справедливою для всіх топологічних просторів. Наприклад для варшавського кола, що є компактною підмножиною площини, всі групи гомотопій є тривіальними, але відображення із варшавського кола і одноточковий простір не є гомотопною еквівалентністю.
Нехай
є парою топологічних просторів для яких включення
є слабкою гомотопною еквівалентністю. Нехай
є CW-комплексом, із виділеною точкою, яка є 0-клітиною. Тоді для будь-якої виділеної точки у
, індуковане відображення класів гомотопії
(для класу гомотопії
за означенням
) є бієкцією.
Спершу доведемо, що
є сюр'єктивним. Нехай
є неперервним відображенням із збереженням виділених точок. За допомогою індукції по розмірності кістяків комплексу
доведемо, що
можна гомотопно деформувати так щоб образ при одержаному відображенні належав
. Також при цьому для будь-якого підкомплекса
у
образ якого при відображенні
належить
, тоді
не залежить від
зокрема гомотопія зберігає виділену точку.
Для підкомплекса
і кістяка
позначимо
і продовжимо
на
як
і
. Оскільки включення
у
є слабкою гомотопною еквівалентністю, то зокрема перетин кожної лінійної компоненти зв'язності простору
із підпростором
є лінійною компонентою зв'язності у
. Звідси якщо
є будь-якою 0-клітиною у
, тоді існує шлях
для якого
і
Відображення
можна продовжити на
як
Таким чином одержується база індукції.
Припустимо тепер, що відображення
продовжено до відображення
для якого
Для кожної n-клітини
у
, розглянемо композицію відображень
![{\displaystyle (\Delta ^{n}\times 0)\cup (S^{n-1}\times I)\xrightarrow {\varphi _{\alpha }\times 1} (K\times 0)\cup (M^{n_{1}}\times I)\xrightarrow {f} X,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dbc6a59e12fc1fc7dc7c7a4e297a4dd2fecee96)
при якому образ
є підмножиною
Визначимо гомеоморфізм
із
у себе заданий у граничних точках як:
![{\displaystyle h(x,0)=(x/2,0),\quad x\in \Delta ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14b9ec6a3ae283d70c1e1016163c2e218d7d8c7)
![{\displaystyle h(x,t)=\left({\frac {1+t}{2}}x,0\right),\quad x\in S^{n-1},t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8759674aec0cdfe95b4a37c6eb21bbc8ac5dfe01)
![{\displaystyle h(x,1)=(x/|x|,2-2|x|),\quad x\in \Delta ^{n},|x|\geqslant 1/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82bf20e385ae75ade6e4c7778238b0be064bf703)
![{\displaystyle h(x,1)=(2x,1),\quad x\in \Delta ^{n},|x|\leqslant 1/2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466b870c451ea4b77288f5d9c967094aae81c576)
У внутрішніх точках
гомеоморфізм
можна задати розглянувши
як джойн множини
і точки (0, 1/2). Тоді за означенням
а всі інші внутрішні точки
можна однозначно записати як
де
а
є деякою граничною точкою у
При такому записі можна одержати значення гомоморфізму як
де
для граничної точки визначено вище.
Для такого гомеоморфізму
відображення
є відображенням із пари просторів
у пару просторів
і тому є елементом відносної гомотопної групи
, для деякої виділеної точки. Але
є тривіальною групою і тому
можна продовжити до відображення із
при якому образи
і
належать
Тоді після ще одного застосування
відображення
можна продовжити до відображення із
при якому образ
належать
Цей процес задає неперервне продовження
![{\displaystyle f:(K\times 0)\cup (M^{n}\times I)\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5b4cf986b444e6926972ef573ed627df3fc5e2)
для якого
і як наслідок неперервне продовження
для якого
Тому
є сюрєкцією.
Для доведення ін'єктивності нехай
є неперервними відображеннями із збереженням виділеної точки для яких
і
є гомотопними за допомогою точкової гомотопії
Оскільки
є CW-комплексом і
є підкомплексом, то із доведеної властивості сюр'єктивності
можна гомотопно деформувати у відображення
що збігається з
на
Тобто
є гомотопією між
і
із збереженням виділеної точки.
Для слабкої гомотопної еквівалентності
із збереженням виділених точок і CW-комплекса
для якого виділена точка є 0-клітиною, відображення
між класами гомотопії є бієктивним.
Відображення
є композицією відображень
![{\displaystyle Y\xrightarrow {g} M_{f}\xrightarrow {h} X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8893c81c319444480e88f83f787470464854b1)
де
є циліндром відображення,
є ін'єктивним відображенням, а
є гомотопною еквівалентністю. Оскільки
і
є слабкими гомотопними еквівалентностями, то і
є слабкою гомотопною еквівалентністю. Тому
є бієкцією. Оскільки і
є бієкцією, то бієкцією є і
.
Нехай X і Y є CW-комплексами і f — слабка гомотопічна еквівалентність між ними. Згідно попередньої леми відображення
є бієкцією, тому існує неперервне відображення
таке що
є гомотопним одиничному відображенню на
Тоді
теж є слабкою гомотопною еквівалентністю і також існує відображення
для якого
є гомотопним одиничному відображенню на
. Але тоді (де
позначає гомотопну еквівалентність):
![{\displaystyle f'\simeq (f\circ g)\circ f'\simeq f\circ (g\circ f')\simeq f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ac6e1fcebca70e80fef18f7a726855da56123a)
тож також
і
є гомотопним оберненим до
.
- J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. I., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 213–245
- J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. II., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 453–496
- A. Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0 (see Theorem 4.5)
- Maunder, C. R. F. (1970), Algebraic Topology, London: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-486-69131-4