Теорема Веєрштрасса про цілі функції

Теорема Веєрштрасса про цілі функції (також теорема Веєрштрасса про факторизацію) — в комплексному аналізі твердження про властивості цілих функцій, що визначає існування цілих функцій із заданими нулями з урахуваннями кратності, а також стверджує для довільних цілих функцій існування аналога розкладу многочленів на лінійні множники.

Твердження теореми

Нехай задана скінченна або зліченна послідовність комплексних чисел $z_{k}$, які вважатимемо занумерованими так що $|z_{1}|\leqslant |z_{2}|\leqslant ...\leqslant |z_{k}|\leqslant ...$ і для яких $\lim _{k\to \infty }z_{k}=\infty .$

Тоді існує ціла функція $f(z)$, для якої $z_{k}$ є множиною всіх нулів і в кожній точці кратність нуля є такою, скільки раз це число є в послідовності $z_{k}$.

Якщо ж деяка ціла функція $f(z)$ має в точці 0 — нуль порядка $\lambda$ і також має своїми нулями числа з послідовності $z_{k}$ (з урахування кратності; ця кількість є не більш ніж зліченною), то для цієї функції справедлива факторизація:

$f(z)=z^{\lambda }e^{h(z)}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p_{n}}\right)$

де $h$ — деяка ціла функція, а невід'ємні цілі числа $p_{n}$ вибрані так щоб гарантувати збіжність ряду:

$\sum _{1}^{\infty }\left|{\frac {z}{z_{n}}}\right|^{p_{n}+1}.$

Доведення

Без обмеження загальності можна вважати, що $z_{1}\neq 0.$ В іншому разі замість функції $f(z)$ всюди можна розглядати функцію ${\frac {f(z)}{z^{\lambda }}},$ де $\lambda$ — порядок нуля в точці 0. Підберемо невід'ємні цілі числа $p_{n}$ так, щоб в довільному крузі $|z|\leqslant R,$ ряд $\sum _{1}^{\infty }\left|{\frac {z}{z_{n}}}\right|^{p_{n}+1}$ був абсолютно і рівномірно збіжним. Достатньо, наприклад, взяти $n=p_{n}+1.$

При такому виборі $p_{n}(z)$ нескінченний добуток

$f(z)=\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p_{n}}\right)$

збігається на довільній компактній множині $K$.

Для доведення цього факту розглянемо функцію:

$g(\xi ,p)=(1-\xi )\exp \left(\xi +{\frac {1}{2}}\xi ^{2}+\dots +{\frac {1}{p}}\xi ^{p}\right).$

Її логарифм рівний:

$\ln g(\xi ,p)=\ln(1-\xi )+\xi +{\frac {1}{2}}\xi ^{2}+\dots +{\frac {1}{p}}\xi ^{p}=-{\frac {1}{p+1}}\xi ^{p+1}-{\frac {1}{p+2}}\xi ^{p+2}-\ldots$

При $|\xi |\leqslant q<1$ справедливою є оцінка:

$|\ln g(\xi ,p)|<|\xi |^{p+1}(1+\xi +\ldots )\leqslant {\frac {|\xi |^{p+1}}{1-q}}.$

Позначимо $K_{n}:=\{z\in \mathbb {C} :|z|<q|z_{n}|\}.$ Для довільної компактної множини $K$ існує натуральне число $N,$ таке що $K\subset K_{n},\;\forall n\geqslant N.$

Для всіх так визначених $n$ з попередніх оцінок маємо, що

$\left|\ln g\left({\frac {z}{z_{n}}},p_{n}\right)\right|\leqslant {\frac {1}{1-q}}\left|{\frac {z}{z_{n}}}\right|^{p_{n}+1}.$

Тоді ряд $\sum _{n=N}^{\infty }\left(\ln g\left({\frac {z}{z_{n}}},p_{n}\right)\right)=g_{N}(z)$ на $K$ мажорується збіжним рядом $\sum _{N}^{\infty }\left|{\frac {z}{z_{n}}}\right|^{p_{n}+1}$ і відповідно $g_{N}(z)$ є голоморфною на $K$ функцією.

Як наслідок нескінченний добуток

$\prod _{n=N}^{\infty }g\left({\frac {z}{z_{n}}},p_{n}\right)=\exp(g_{N}(z))=f_{N}(z)$

є збіжним і визначає голоморфну на $K$ функцію, що не є рівною нулю на всій множині $K$.

Визначена раніше функція $f(z)$ відрізняється від $f_{N}(z)$ добутком на $\prod _{n=1}^{N-1}g\left({\frac {z}{z_{n}}},p_{n}\right).$

Цей добуток має нулі в точках $z_{1}(z),\ldots ,z_{N-1}(z)$ і лише в них. Це ж справедливо і для $f(z)$ на множині $K$.

Оскільки $K$ — довільна компактна множина то $f(z)$ — ціла функція і має в $\mathbb {C}$ задані нулі з урахуванням кратності.

Якщо тепер $f(z)$ — довільна ціла функція, що не має нуля в точці 0 (в іншому разі знову ж можна розглядати функцію ${\frac {f(z)}{z^{\lambda }}}$), то позначивши її нулі так що $|z_{1}|\leqslant |z_{2}|\leqslant ...\leqslant |z_{k}|\leqslant ...$ і побудувавши, як і вище нескінченний добуток

$f_{0}(z)=\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p_{n}}\right)$

отримуємо, що частка $f(z)/f_{0}(z)$ є цілою функцією без нулів і функція $h(z)=\ln f(z)/f_{0}(z)$ є необмежено продовжуваною в $\mathbb {C}$ і згідно теореми про монодромію є цілою функцією.

Приклади факторизації

Нижче подано приклади факторизації для деяких цілих функцій:

• $\sin \pi z=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)e^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)$

• $\cos \pi z=\prod _{q\in \mathbb {Z} ,\,q\;{\text{odd}}}\left(1-{\frac {2z}{q}}\right)e^{2z/q}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2n+1)^{2}}}\right)$

Див. також

• Ціла функція
• Теорема Міттаг-Лефлера

Посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), theorem Weierstrass theorem, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Джерела

• Шабат, Б. В. (1976), Введение в комплексный анализ, ч. I, «Наука»
• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of One Complex Variable (вид. 2nd), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2905-X