Теорема Гаусса — Люка
Теорема Гаусса — Люка описує геометричну залежність між коренями многочлена p(z) і коренями його похідної на комплексній площині Теорема стверджує, що корені похідної многочлена лежать в опуклій оболонці коренів самого многочлена. Оскільки ненульовий многочлен має скінченну кількість коренів, то опукла оболонка цих коренів є найменшим опуклим многокутником на комплексній площині, що містить ці корені.
Деякою мірою це твердження є аналогом теореми Ролля для функцій однієї дійсної змінної, яка стверджує, що між двома нулями диференційовної функції знаходиться нуль її похідної.
Якщо є многочленом із комплексними коефіцієнтами і не є рівним константі, то всі корені многочлена належать опуклій оболонці коренів многочлена .
Згідно основної теореми алгебри можна записати
- ,
де є коренями многочлена (які можуть повторюватися), — коефіцієнт біля . Для такого запису многочлена похідну можна обчислити як:
- .
Поділивши на одержується рівність
- .
Нехай позначає довільний корінь похідної: . Якщо , то він очевидно належить опуклій оболонці цих чисел. Якщо , то з попередньої рівності:
- .
Використавши елементарну рівність одержуємо.
або після комплексного спряження
Попередню рівність можна переписати як:
Якщо позначити
то, очевидно, , тобто
- ,
Отже, є опуклою комбінацією що завершує доведення.
- Félix Lucas, Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations, C.R. Hebd. Séances Acad. Sci. LXXXIX (1879), с. 224—226
- Marden, Morris (1966). Geometry of Polynomials. Mathematical Surveys and Monographs. Т. 3. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1503-2.
- Rahman, Q. I.; Schmeisser, G. (2002). Analytic theory of polynomials. London Mathematical Society Monographs. New Series. Т. 26. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853493-0. Zbl 1072.30006.
- Sheil-Small, T. (2002). Complex polynomials. Cambridge studies in advanced mathematics. Т. 75. Cambridge University Press. ISBN 0521400686.