Міра ірраціональності

Міра ірраціональності дійсного числа $\alpha$ — це дійсне число $\mu$, що показує, наскільки добре $\alpha$ можна наблизити раціональними числами.

Визначення

Нехай $\alpha$ — дійсне число, і нехай $M(\alpha )$ — множина всіх чисел $\mu$ таких, що нерівність $0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}$ має лише скінченне число розв'язків у цілих числах $p$ і $q>0$:

$M(\alpha )=\left\{\mu >0\colon (\exists q_{0}=q_{0}(\mu ,\;\alpha ))\;(\forall p,\;q\in \mathbb {Z} )\;q>q_{0}\Rightarrow \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\mu }}}\lor \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|=0\right\}.$

Тоді міра ірраціональності $\mu (\alpha )$ числа $\alpha$ визначається як точна нижня грань $M(\alpha )$:

$\mu (\alpha )=\inf M(\alpha ).$

Якщо $M(\alpha )=\varnothing$, то вважають $\mu (\alpha )=+\infty$.

Іншими словами, $\mu$ — найменше число, таке, що для будь-якого $\varepsilon >0$ для всіх раціональних наближень ${\frac {p}{q}}$ з досить великим знаменником $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\mu +\varepsilon }}}$.

Можливі значення міри ірраціональності

• $\mu (\alpha )=1$ тоді й лише тоді, коли $\alpha$ — раціональне число.
• Якщо $\alpha$ — алгебричне ірраціональне число, то $\mu (\alpha )=2$.
• Якщо $\alpha$ — трансцендентне число, то $\mu (\alpha )\geqslant 2$. Зокрема, якщо $\mu (\alpha )=+\infty$, то число $\alpha$ називають числом Ліувілля.

Зв'язок з ланцюговими дробами

Якщо $\alpha =[a_{0};\;a_{1},\;a_{2},\;\ldots ]$ — розклад числа $\alpha$ в ланцюговий дріб, і ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ — $n$-а відповідний ланцюговий дріб, то

$\mu (\alpha )=1+\limsup \limits _{n\to +\infty }{\frac {\ln q_{n+1}}{\ln q_{n}}}=2+\limsup \limits _{n\to +\infty }{\frac {\ln a_{n+1}}{\ln q_{n}}}.$

За допомогою цієї формули особливо легко знайти міру ірраціональності для квадратичних ірраціональностей, оскільки розклади їх у ланцюгові дроби періодичні. Наприклад, для золотого перетину $\varphi =[1;\;1,\;1,\;\ldots ]$, і тоді $\mu (\varphi )=2$.

Теорема Туе — Зігеля — Рота

За лемою Діріхле, якщо $\alpha$ ірраціональні, то для будь-якого цілого q знайдеться ціле p таке, що $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}$, тобто $\mu (\alpha )\geqslant 2$. 1844 року Ліувілль довів теорему про те, що для будь-якого алгебричного числа $\alpha$ мірою $n$ можна підібрати константу $c=c(\alpha )$ таку, що $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\geqslant {\frac {c}{q^{n}}}$. 1908 року Туе посилив цю оцінку. Подальші результати в цьому напрямку отримали Зігель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Найточнішу оцінку довів Рот у 1955 році. Отриману теорему називають теоремою Туе — Зігеля — Рота. Вона стверджує, що якщо $\alpha$ — алгебричне ірраціональне число, то $\mu (\alpha )=2$. Рот за її доведення отримав філдсівську премію.

Міра ірраціональності деяких трансцендентних чисел

Для майже всіх трансцендентних чисел міра ірраціональності дорівнює 2. Добре відомо, що $\mu \left(e\right)=2$, а також відомі числа Ліувілля, які за визначенням мають нескінченну міру ірраціональності. Однак для багатьох інших трансцендентних констант міра ірраціональності невідома, в кращому випадку, відома деяка оцінка зверху. Наприклад:

• $\mu \left(e\right)=2$
• $\mu \left(\pi \right)\leqslant 7{,}103205334137$
• $\mu \left(\pi ^{2}\right)\leqslant 5{,}162857$
• $\mu \left({\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\right)\leqslant 4{,}230464$
• $\mu \left(\ln 2\right)\leqslant 3{,}57455391$
• $\mu \left(\zeta \left(3\right)\right)\leqslant 5{,}513891$

Див. також

• Ірраціональні числа
• Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел
• Ланцюговий дріб

Посилання

• Weisstein, Eric W. Irrationality Measure(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.