Тотожність Вайнштейна–Айронштайна

У теорії матриць ця тотожність корисна для обчислення певних типів визначників.

Тотожність стверджує, що якщо $A$ і $B$ є матрицями розмірів $m \times n$ і $n \times m$ відповідно, тоді

\det(I_{m}+AB)=\det(I_{n}+BA),\

де $I a$ — одинична матриця порядку $a$ .

Доведення

Тотожність можна довести таким чином.^[1] Нехай $M$ буде матрицею, що складається з чотирьох блоків $I m$ , $- A$ , $B$ і $I n$ :

M={\begin{pmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}

.

Оскільки $I m$ є оборотною, формула визначника блокової матриці дає

\det {\begin{pmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{m})\det(I_{n}-BI_{m}^{-1}(-A))=\det(I_{n}+BA)

.

Оскільки $I n$ є оборотною, формула визначника блокової матриці дає

\det {\begin{pmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{n})\det(I_{m}-(-A)I_{n}^{-1}B)=\det(I_{m}+AB)

.

Отже,

\det(I_{n}+BA)=\det(I_{m}+AB)

.

↑ Pozrikidis, C. (2014), An Introduction to Grids, Graphs, and Networks, Oxford University Press, с. 271, ISBN 9780199996735, архів оригіналу за 8 квітня 2016, процитовано 5 червня 2016