Формула Аусландера — Бухсбаума

В комутативній алгебрі Формула Аусландера — Бухсбаума пов'язує поняття глибини і проективної розмірності скінченнопороджених модулів над локальними нетеровими кільцями. Формула доведена американськими математиками Морісом Аусландером і Девідом Бухсбаумом у 1957 році.

Твердження

Нехай R — комутативне локальне нетерове кільце і M — ненульовий скінченнопороджений R-модуль із скінченною проективною розмірністю. Тоді

$\mathrm {pd} _{R}M+\mathrm {depth} \ M=\mathrm {depth} \ R.$

де pd позначає проективну розмірність модуля і depth — глибину кільця і модуля.

Доведення

Лема 1

Нехай R — локальне кільце і M — скінченнопороджений R-модуль. Якщо максимальний ідеал ${\mathfrak {m}}\in \operatorname {Ass} (R)$ (еквівалентно всі елементи максимального ідеалу є дільниками нуля), то $\operatorname {pd} _{R}M=0$ або $\operatorname {pd} _{R}M=\infty .$

Доведення

Припустимо $\operatorname {pd} _{R}M=n>0.$ Якщо $n<\infty$ то можна знайти R-модуль M для якого $\operatorname {pd} _{R}M=1.$ Для цього потрібно побудувати частину проективної резольвенти

$E_{n-2}\rightarrow \cdots \rightarrow E_{2}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\rightarrow 0$

після чого побудувати вільний модуль F породжений елементами модуля $E_{n-2}.$ Ядро природного відображення $F\to E_{n-2}$ буде мати проективну розмірність 1 згідно властивостей проективних розмірностей.

Тому можна вважати, що $\operatorname {pd} _{R}M=1.$ Нехай $x_{1},...,x_{t}$ — мінімальна породжуюча множина для M. Тоді M є факторкільцем вільного модуля F з базисом $x_{1},...,x_{t}$ і ядром K. Таким чином одержана коротка точна послідовність$:0\to K\to F\to M\to 0,$

Також $K\subset {\mathfrak {m}}F.$ Справді довільний елемент K можна записати як $\sum _{i=1}^{t}a_{i}x_{i},$ де $a_{i}\in R.$ При відображенні в M ця сума є рівною 0. Якщо якийсь з елементів $a_{i}$ не належить ${\mathfrak {m}},$ то він є оборотним і у модулі M елемент $x_{i}$ є R-лінійною комбінацією інших породжуючих елементів, що суперечить мінімальності породжуючої множини. Тож $K\subset {\mathfrak {m}}F.$

Оскільки $\operatorname {pd} _{R}M=1,$ то K є проективним модулем, а як скінченнопороджений модуль над локальним кільцем то також і вільним R-модулем. Оскільки ${\mathfrak {m}}\in \operatorname {Ass} (R),$ то ${\mathfrak {m}}$ є анулятором деякого елемента $0\neq a\in R.$ Оскільки $K\subset {\mathfrak {m}}F,$ то $aK=0,$ а оскільки $0\neq a$ це суперечить тому, що K є вільним R-модулем.

Лема 2

Нехай R локальне кільце, $a\in R$ — необоротний елемент, що не є дільником нуля у R. Позначимо $R^{*}=R/(a).$ Нехай M — скінченнопороджений R-модуль скінченної проективної розмірності для якого a не є дільником нуля. Тоді $\operatorname {pd} _{R}M=\operatorname {pd} _{R^{*}}M/aM.$

Доведення

Доведення індукцією по $n=\operatorname {pd} _{R}M.$ Якщо n = 0, M є вільним модулем (як скінченнопороджений проективний модуль над локальним кільцем), тобто є прямою сумою копій R. Тоді M/aM є прямою сумою копій $R^{*},$ тобто є вільним $R^{*}$-модулем.

Припустимо n > 0 і розглянемо точну послідовність $0\to K\to F\to M\to 0$ де F — вільний модуль. Оскільки a не є дільником нуля у M, звідси одержується точна послідовність $R^{*}$-модулів

$0\to K/aK\to F/aF\to M/aM\to 0.\quad (*)$

Якщо M/aM є вільним $R^{*}$-модулем, то M є вільним R-модулем. Справді, нехай $y_{1}...,y_{n}$ є базою M/aM як $R^{*}$-модуля. Нехай $x_{1},...x_{n}$ є прообразами цих елементів щодо відображення $M\to M/aM.$ Згідно леми Накаями, $x_{1},...x_{n}$ є породжуючою множиною M.

Для доведення того, що $x_{1},...x_{n}$ є лінійно незалежними над R, розглянемо лінійне рівняння $\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}=0,\ \lambda _{i}\in R.$ Тоді також $\sum _{i=1}^{n}{\bar {\lambda }}_{i}y_{i}=0,\$ у M/aM і тому ${\bar {\lambda }}_{i}=0\ (1\leqslant i\leqslant n).$ Тому можна записати $\lambda _{i}=\mu _{i}a\ (1\leqslant i\leqslant n)$ і$\sum \mu _{i}ax_{i}=0$ і з того, що a не є дільником нуля у M, також $\sum \mu _{i}ax_{i}=0.$ За тими ж аргументами, що й вище, a ділить кожен $\mu _{i}$ тож якщо взяти $\mu _{i}=\nu _{i}a,$ то $\sum \nu _{i}x_{i}=0.$ Таким чином для кожного i одержується послідовність ідеалів кільця R, $(\lambda _{i})\subset (\mu _{i})\subset (\nu _{i})\subset \ldots .$ Оскільки R є нетеровим кільцем, ця послідовність зрештою стабілізується для кожного i.

Тому можна вважати, що $(\lambda _{i})=(\mu _{i})$ для кожного i. Тоді $\mu _{i}=\sigma _{i}\lambda _{i},\ \sigma _{i}\in R$ і оскільки $\lambda _{i}=\mu _{i}a,$ то $\mu _{i}(1-\sigma _{i}a)=0.$ Оскільки $a\in {\mathfrak {m}},$ то $(1-\sigma _{i}a)$ є оборотним елементом і всі $\mu _{i}=0$ і тому всі $\lambda _{i}=0,$ тобто $x_{1},...x_{n}$ є лінійно незалежними над R.

Також $\operatorname {pd} _{R}K=n-1<\infty$ і за припущенням індукції $\operatorname {pd} _{R^{*}}K/aK=n-1.$ Із цього і точної послідовності (*) випливає $\operatorname {pd} _{R^{*}}M/aM=n=\operatorname {pd} _{R}M.$

Доведення формули Аусландера — Бухсбаума

Доведення теореми здійснюється індукцією по $\mathrm {depth} (M).$ Припустимо $\mathrm {depth} \ M=0.$ У цьому випадку результат доводиться індукцією по $\mathrm {depth} \ R.$ Якщо $\mathrm {depth} \ R=0$ то всі елементи максимального ідеалу ${\mathfrak {m}}$ є дільниками нуля і тому ${\mathfrak {m}}\in \operatorname {Ass} (R)$ і, згідно леми 1, $\operatorname {pd} _{R}M=0$ і формула є вірною.

Припустимо $\mathrm {depth} R>0.$ Також можна вважати $\operatorname {pd} _{R}M>0$, оскільки якщо $\operatorname {pd} _{R}M=0,$ то M є вільним модулем (як скінченнопороджений проективний модуль над локальним кільцем) і тоді $\mathrm {depth} M=\mathrm {depth} R$ і формула є вірною.

З того, що $\mathrm {depth} (M)=0,$ випливає, що ${\mathfrak {m}}\in \operatorname {Ass} (M)$ і тому існує елемент $y\in M,\ y\neq 0$ для якого ${\mathfrak {m}}y=0.$ Візьмемо точну послідовність R-модулів

$0\to K\to F{\overset {\phi }{\longrightarrow }}M\to 0,$

де F — вільний модуль і елемент $x\in F$ для якого $\phi (x)=y.$ Тоді $x\not \in K$ і ${\mathfrak {m}}x\subset K.$ Оскільки $\mathrm {depth} R>0,$ можна вибрати $a\in {\mathfrak {m}},$ що не є дільником нуля у R. Модуль F є вільним, тож a також не є дільником нуля у F і K. Якщо позначити $R^{*}==R/(a)$ і ${\mathfrak {m}}^{*}={\mathfrak {m}}/(a),$ то ${\mathfrak {m}}^{*}\in \operatorname {Ass} (K/aK)$ бо ${\mathfrak {m}}^{*}$ є анулятором ненульового елемента $ax+aK\in K/aK.$ Звідси $\mathrm {depth} _{R^{*}}(K/aK)=0.$ Оскільки $\operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1<\infty ,$ з леми 2, випливає, що $\operatorname {pd} _{R^{*}}(K/aK)=\operatorname {pd} _{R}K<\infty .$

З того, що $\mathrm {depth} \ R^{*}=\mathrm {depth} \ R-1$ формула одержується індукцією по $R^{*}.$ Модуль K/aK є скінченнопородженим ненульовим модулем над $R^{*}$ нульової глибини, то $\operatorname {pd} _{R^{*}}(K/aK)=\mathrm {depth} \ R^{*}.$ Але $\operatorname {pd} _{R^{*}}(K/aK)=\operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1.$ Тому $\operatorname {pd} _{R}M=\mathrm {depth} \ R,$ що завершує доведення у випадку $\mathrm {depth} \ M=0.$

Припустимо тепер, що $\mathrm {depth} \ (M)>0.$ Можна також вважати, що $\mathrm {depth} \ R>0$ оскільки в іншому випадку ${\mathfrak {m}}\in \operatorname {Ass} (R)$ і згідно леми 1 $\operatorname {pd} _{R}M=0,$ тобто M є вільним модулем і $\mathrm {depth} \ M=\mathrm {depth} \ R.$ Оскільки ${\mathfrak {m}}$ не є асоційованим простим ідеалом ні для M ні для R то він не є підмножиною жодного з цих простих ідеалів і відповідно не є підмножиною їх об'єднання. Тому існує елемент $a\in {\mathfrak {m}},$ який не є дільником нуля ні для R ні для M. Тоді $\mathrm {depth} _{R/(a)}M/aM=\mathrm {depth} \ M-1$ і за індукцією $\operatorname {pd} _{R}M/aM+\mathrm {depth} _{R/(a)}M/aM=\mathrm {depth} \ R/(a).$ Згідно леми 2, $\operatorname {pd} _{R/(a)}M/aM=\operatorname {pd} _{R}M$ і тому $\operatorname {pd} _{R}M+\mathrm {depth} _{R}M=1+\mathrm {depth} \ R/(a)=\mathrm {depth} R.$

Застосування

З формули Аусландера — Бухсбаума випливає що локальне Нетерове кільце є регулярним якщо і тільки якщо воно має скінченну глобальну розмірність. Звідси випливає, що локалізація регулярного локального кільця теж є регулярним локальним кільцем.

Якщо A є локальною скінченнопородженою R-алгеброю над регулярним локальним кільцем R, тоді з формули Аусландера — Бухсбаума випливає що A є кільцем Коена — Маколея якщо і тільки якщо, pd_RA = codim_RA.

Див. також

• Глибина (теорія кілець)
• Глобальна розмірність

Література

• Auslander, Maurice; Buchsbaum, David A. (1957), Homological dimension in local rings, Transactions of American Mathematical Society, 85: 390—405, doi:10.2307/1992937, ISSN 0002-9947, JSTOR 1992937, MR 0086822
• Srikanth Iyengar, Graham J. Leuschke, Anton Leykin, Claudia Miller, Ezra Miller (2007), Twenty-four hours of local cohomology, Graduate Studies in Mathematics, т. 87, American Mathematical Society, ISBN 9780821841266
• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.
• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. ISBN 0-521-25916-9