Глибина (теорія кілець)

В комутативній алгебрі глибиною модуля називається одна з важливих характеристик модуля над комутативним кільцем. Особливо важливим є випадок модулів над локальними нетеровими кільцями. Поняття вперше було введено Осландером і Бухсбаумом у 1956 році

Означення

Нехай $R$ — комутативне кільце Нетер і $M$ — скінченнопороджений R-модуль. Послідовність елементів $a_{1},\dots ,a_{k}\in R$, називається M-регулярною, якщо для всіх $1\leqslant i\leqslant k$ елемент $a_{i}$ не є дільником нуля в модулі

$M/(a_{1},\ldots ,a_{i-1})M,$

тобто з того, що $a_{i}x=0$, де $x$ — деякий елемент вказаного модуля, випливає, що $x=0$.

I-глибина модуля $M$ дорівнює довжині найбільшої М-регулярної послідовності, складеної з елементів ідеала $I$. У випадку локального кільця $R$ за $I$ приймають зазвичай максимальний ідеал і тоді використовується термін глибина модуля $M$.

Еквівалентно I-глибиною модуля $M$ називається найменше ціле число $n$, для якого $\operatorname {Ext} ^{n}(R/I,M)\neq 0.$

Для позначення глибини модуля використовують $\operatorname {depth} _{I}(M)$ або $\operatorname {prof} _{I}(M)$.

Властивості

• Нехай $R$ — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом ${\mathfrak {m}}$ і $M$ — скінченнопороджений R-модуль. Тоді правильною є нерівність

$\mathrm {depth} (M)\leqslant \dim(M),$

де в правій частині є розмірність Круля для модуля, що за означенням рівна $\operatorname {dim} _{R}M:=\operatorname {dim} (R/\operatorname {Ann} _{R}(M))$. Кільця для яких глибина рівна розмірності Круля називаються кільцями Коена — Маколея.

• Формула Аусландера — Бухсбаума. Нехай $R$ — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом ${\mathfrak {m}}$ і $M$ — скінченнопороджений R-модуль. Якщо проективна розмірність модуля $M$ є скінченною, то виконується рівність

$\mathrm {pd} _{R}(M)+\mathrm {depth} (M)=\mathrm {depth} (R).$

• Справедливою є наступна формула:

$\operatorname {depth} _{I}(M)=\inf _{{\mathfrak {p}}\supset I}\operatorname {depth} _{I}(M_{\mathfrak {p}})$

де ${\mathfrak {p}}$ позначає простий ідеал кільця $R$, а $M_{\mathfrak {p}}$ розглядається як модуль над локальним кільцем $R_{\mathfrak {p}}$.

• Нехай $R$ — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом ${\mathfrak {m}}$ і $M$ — скінченнопороджений R-модуль. Тоді $\mathrm {depth} (M)=0$ якщо і тільки якщо ${\mathfrak {m}}$ є асоційованим простим ідеалом модуля $R.$
• Нехай $R$ — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом ${\mathfrak {m}}$ і $M$ — скінченнопороджений R-модуль. Нехай елемент $a\in {\mathfrak {m}}$ не є дільником нуля для модуля $M.$ Тоді $\mathrm {depth} (M/aM)=\mathrm {depth} (M)-1.$
• Нехай $R$ — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом ${\mathfrak {m}}$ і $M$ — скінченнопороджений R-модуль. Якщо ${\hat {R}},{\hat {M}}$ — поповнення відповідно кільця і модуля по ${\mathfrak {m}}$-адичній фільтрації, то $\mathrm {depth} (M)=\mathrm {depth} ({\hat {M}})$.
• Твердження $\mathrm {depth} _{I}(M)\geqslant n$ рівнозначно тому, що модулі локальних когомологій $H_{i}^{I}(M)$ дорівнюють нулю при $i<n$.
• Нехай $0\to M'\to M\to M''\to 0$ — точна послідовність скінченнопороджених модулів над комутативним нетеровим кільцем і $I$ — ідеал кільця, для якого $IM'\neq M'\;IM\neq M\;IM''\neq M''$. Тоді:

Якщо $\mathrm {depth} _{I}(M)<\mathrm {depth} _{I}(M'')$ то $\mathrm {depth} _{I}(M')=\mathrm {depth} _{I}(M)$.

Якщо $\mathrm {depth} _{I}(M)>\mathrm {depth} _{I}(M'')$ то $\mathrm {depth} _{I}(M')=1+\mathrm {depth} _{I}(M)$.

Якщо $\mathrm {depth} _{I}(M)=\mathrm {depth} _{I}(M'')$ то $\mathrm {depth} _{I}(M')>\mathrm {depth} _{I}(M)$.

Див. також

• Довжина модуля
• Розмірність Круля

Джерела

• Auslander, Maurice; Buchsbaum, David A. (1956), Homological dimension in Noetherian rings, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 42: 36—38
• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen–Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1
• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.