Функція Ліувілля

Функція Ліувілля — арифметична функція, що широко застосовується в теорії чисел. Названа на честь французького математика Жозефа Ліувілля. Для позначення функції переважно використовується λ(n).

Для додатного n функція Ліувілля визначається:

$\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)},\,\!$

де Ω(n) — кількість простих дільників числа n, разом з мультиплікативністю. Тобто якщо $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\ldots p_{k}^{\alpha _{k}},$ то:

$\lambda (n)=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{k}}\,\!$

Перші значення функції рівні

1, −1, −1, 1, −1, 1, −1, −1, 1, 1, −1, −1, −1, 1, 1, 1, −1, −1, −1, −1, … (послідовність A026424 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.)

Властивості

• Функція Ліувілля є цілком мультиплікативною, тобто $\lambda (mn)=\lambda (m)\lambda (n),\;\forall m,n\in \mathbb {N} .$
• $\sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&n=k^{2},\;k\in \mathbb {N} \\0&{\sqrt {n}}\notin \mathbb {N} .\end{cases}}$

де сума береться по всіх дільниках числа n.

Для доведення позначимо $g(n)=\sum _{d|n}\lambda (d).$ Тоді оскільки функція $\lambda (n)$ — мультиплікативна, то мультиплікативною є і функція g(n). Якщо $n=p^{\alpha }$ — степінь простого числа, то

$g(p^{\alpha })=\sum _{d|p^{\alpha }}\lambda (d)=1+\lambda (p)+\lambda (p^{2})+\ldots +\lambda (p^{\alpha })=1-1+\ldots +(-1)^{\alpha }={\begin{cases}0&n=2k,\;k\in \mathbb {N} \\1&n=2k-1,\;k\in \mathbb {N} .\end{cases}}$

Тобто для цього випадку якщо степінь є парним, то значення функції рівне 0, непарним — 1. Якщо тепер $n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}},$ то, враховуючи мультиплікативність, $g(n)=\prod _{i=1}^{k}g(p_{i}^{\alpha _{i}}).$ Якщо хоча б одне з чисел $\alpha _{i}$ є непарним, то $g(\alpha _{i})=0,$ і також $g(n)=0.$ Число n в такому випадку не може бути квадратом. Якщо ж усі $\alpha _{i}$ є парними, то одночасно $g(n)=1$ і n є квадратом.

• $\lambda ^{-1}(n)=|\mu (n)|,$

де $\lambda ^{-1}(n)$ — обернена Діріхле функції $\lambda (n),$ а $\mu (n)$ — функція Мебіуса.

• Ряд Діріхле функції Ліувілля пов'язаний з Дзета-функцією Рімана формулою

${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.$

Гіпотези

Гіпотеза Пойа зроблена угорським математиком Дьордьом Пойа в 1919 році. Визначивши

$L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k),$

гіпотеза стверджує, що $L(n)\leq 0$ для n > 1. Гіпотеза, проте, не є вірною. Найменший контрприклад n = 906150257, знайшов японський математик Мінору Танака в 1980 році. Згодом було доведено, що L(n) > 0.0618672√n для нескінченної кількості n, і також L(n) < -1.3892783√n для нескінченної кількості n. Визначимо також суму

$T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.$

Існувала також гіпотеза, що T(n) ≥ 0 для достатньо великих n ≥ n₀. Гіпотеза була спростована англійським математиком Браяном Гаселґровом у 1958 році Підтвердження цієї гіпотези привело б до доведення гіпотези Рімана.

Посилання

1. Weisstein, Eric W. Liouville Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

• Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3