Функція Розенброка
Функція Розенброка у математичній оптимізації — неопукла функція, яка використовується для тестування продуктивності алгоритмів оптимізації. Була представлена Говардом Розенброком[en] у 1960 році.[1]
Глобальний мінімум функції знаходиться всередині довгої вузької плоскої фігури параболічної форми. Що робить складним пошук шлях до глобального мінімуму для алгоритмів оптимізації.
Функція визначається як:
Функція має глобальний мінімум при , де . Зазвичай ці параметри встановлюються так, що і . Але тільки в тривіальному випадку, де , функція симетрична, а мінімум знаходиться в початку координат.
Зазвичай зустрічаються два варіанти.
Ця багатовимірна функція є сумою незв'язаних 2D функцій Розенброка, і визначається лише для парних :
Цей варіант має передбачувано прості рішення.
Другий, більш складний варіант:
має рівно один мінімум для (при ) і рівно два мінімуми для — глобальний мінімум при і локальний мінімум поблизу . Цей результат отримано шляхом встановлення градієнта функції рівним нулю, зауваживши, що отримане рівняння є раціональною функцією . Для маленьких поліноми можна визначити точно, а теорему Штурма можна використати для визначення кількості справжніх коренів, тоді як корені можуть бути обмежені в області .[5] Для більшого цей метод не працює через велике значення задіяних коефіцієнтів.
Багато стаціонарних точок функції демонструють правильну закономірність під час побудови.[5] Цю структуру можна використати, щоб знайти їх.
Функцію Розенброка можна ефективно оптимізувати шляхом адаптації відповідної системи координат без використання будь-якої інформації про градієнт і без побудови локальних апроксимаційних моделей (на відміну від багатьох оптимізаторів без похідних). Наступний малюнок ілюструє приклад двовимірної оптимізації функції Розенброка за допомогою адаптивного спуску координат від початкової точки . Розв'язок зі значенням функції можна знайти після 325 оцінок функцій.
Використання методу Нелдера–Міда з початкової точки з регулярним початковим симплексом. Мінімум знайдено зі значенням функції після 185 оцінок функцій.
- ↑ Rosenbrock, H.H. (1960). An automatic method for finding the greatest or least value of a function. The Computer Journal. 3 (3): 175—184. doi:10.1093/comjnl/3.3.175. ISSN 0010-4620.
- ↑ Simionescu, P.A. (2014). Computer Aided Graphing and Simulation Tools for AutoCAD users (вид. 1st). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4822-5290-3.
- ↑ Dixon, L. C. W.; Mills, D. J. (1994). Effect of Rounding Errors on the Variable Metric Method. Journal of Optimization Theory and Applications. 80: 175—179. doi:10.1007/BF02196600.
- ↑ Generalized Rosenbrock's function. Процитовано 16 вересня 2008.
- ↑ а б Kok, Schalk; Sandrock, Carl (2009). Locating and Characterizing the Stationary Points of the Extended Rosenbrock Function. Evolutionary Computation. 17 (3): 437—53. doi:10.1162/evco.2009.17.3.437. PMID 19708775.
{{cite journal}}
:|hdl-access=
вимагає|hdl=
(довідка)
- Тривимірний графік функції Розенброка
- Weisstein, Eric W. Функція Розенброка(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.