Функції випадкових величин

Функції випадкових величин — це один з основних розділів теорії ймовірностей та математичної статистики.

Означення

Нехай на ймовірносному просторі $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ задана випадкова величина $\xi (\omega )$, розглянемо функцію дійсного аргументу, область визначення якої включає в себе усі можливі значення заданої випадкової величини. Тоді випадкову величину, яка кожній елементарній події $\omega$ з простору елементарних подій ставить у відповідніcть число $\theta (\omega )=f(\xi (\omega ))$ — називають функцією від однієї випадкової величини. Зауваження: якщо випадкова величина, яка є аргументом функції, дискретна, то функція від цієї випадкової величини завжди буде дискретною випадковою величиною. А якщо неперервна — то відповідна випадкова величина $\theta$ може бути як дискретною так і неперервною, все залежить від функціональної залежності відповідних випадкових величин.

Приклад:

$\xi$ має стандартний гаусівський розподіл; $\theta =\operatorname {sgn}(\xi );$ Тоді розподіл $\theta$ буде мати вигляд:

$\theta$	$-1$	$1$
$P$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{2}}$

Дискретний випадок

Розглянемо спочатку дискретну випадкову величину , закон розподілу якої має вигляд:

$\xi$	х1	х2	$\dots$	хn
р	p1	p2	$\dots$	pn

Подія ($\xi =x_{i}$) настає з імовірністю $p_{i}$, з цією ж ймовірністю $\eta$ набуває значення $y_{i}=f(x_{i})$. Тому закон розподілу випадкової величини $\eta =f(\xi )$ такий:

$\eta$	ƒ(х1)	ƒ(х2)	$\dots$	ƒ(хn)
р	p1	p2	$\dots$	pn

Якщо існує декілька значень $x_{i}$, для яких $f(x_{i})$ одне і те саме, то всі такі випадки об'єднуються в один, якому відповідає за теоремою додавання ймовірність, що дорівнює сумі ймовірностей об'єднуваних подій.

Неперервний випадок

Приклад: Нехай $X\simeq U(0,1)$, і покладемо $Y=X^{2}$. Тоді

$$F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(X^{2}\leq y)=P(X\leq {\sqrt {y}})=F_{X}({\sqrt {y}}).$$

Диференціюючи даний вираз, маємо

$$f_{Y}(y)=f_{X}({\sqrt {y}}){\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}},\qquad 0<y<1,$$

(і $f_{Y}(y)=0$ в іншому випадку).

Приклад: Нехай $X\simeq U(0,1)$, і нехай $Y=-\operatorname {log} X$. Тоді

$${\begin{aligned}F_{Y}(y)&=P(Y\leq y)=P(-\operatorname {log} X\leq y)=P(X\geq e^{-y})=\\&=1-F_{X}(e^{-y})=1-e^{-y},\qquad y>0,\end{aligned}}$$

не важко помітити, що $Y\simeq Exp(1)$ (або взявши похідну отримаємо $f_{Y}(y)=e^{-y}$, для $y>0$ ).

Нехай $X$ має довільний неперервний розподіл, і припустимо, що $g$ диференційовна та строго зростає (обернена функція $g^{-1}$ існує та єдина). Покладемо $Y=g(X)$. Обчислення, подібні до наведених вище, дають нам

$$F_{Y}(y)=P(g(X)\leq y)=P(X\leq g^{-1}(y))=F_{X}(g^{-1}(y))$$

та

$$f_{Y}(y)=f_{X}(g^{-1}(y))\cdot {\frac {d}{dy}}g^{-1}(y).$$

Якби $g$ була строго спадною, ми б отримали

$$f_{Y}(y)=-f_{X}(g^{-1}(y))\cdot {\frac {d}{dy}}g^{-1}(y).$$

(Зверніть увагу, що ${\textstyle f_{Y}(y)>0}$, так як ${\textstyle dg^{-1}(y)/dy<0}$).

В решті решт, ми показали, що якщо ${\textstyle g}$ строго монотонна, то

$$f_{Y}(y)=f_{X}(g^{-1}(y))\cdot |{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)|.$$

Теорема про перетворення

Нехай ${\textbf {X}}$ — це $n$-мірний неперервний випадковий вектор, який має щільність $f_{\textbf {X}}({\textbf {x}})$, і припустимо, що ${\textbf {X}}$ має множину значень $S\subset \mathbb {R} ^{n}$. Нехай $g=(g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n})$ — бієкція від $S$ до деякої множини $T\subset \mathbb {R} ^{n}$, і розглянемо $n$-мірний випадковий вектор

$${\textbf {Y}}=g({\textbf {X}}).$$

Це означає, що ми розглядаємо ${\textstyle n}$ випадкових величин

$$Y_{1}=g_{1}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}),$$

$$Y_{2}=g_{2}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}),$$

$$\vdots$$

$$Y_{n}=g_{n}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}).$$

Зрештою, припустимо, що $g$ та її обернена функція є неперервно диференційованими (для того щоб якобіан ${\textbf {J}}=|\operatorname {d} ({\textbf {x}})/\operatorname {d} ({\textbf {y}})|$ був коректно визначений).

Щільність ${\textbf {Y}}$ дорівнює

$f_{\textbf {Y}}({\textbf {y}})={\begin{cases}f_{\textbf {X}}(h_{1}({\textbf {y}}),h_{2}({\textbf {y}}),\ldots ,h_{n}({\textbf {y}}))\cdot |{\textbf {J}}|,&{\textbf {y}}\in T,\\0&{\textbf {y}}\notin T,\end{cases}}$

де $h$ обернена (єдина) функція до $g$, і де

$${\textbf {J}}=\left|{\frac {\operatorname {d} ({\textbf {x}})}{\operatorname {d} ({\textbf {y}})}}\right|={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial y_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{1}}{\partial y_{n}}}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial y_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{2}}{\partial y_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial x_{n}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial x_{n}}{\partial y_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{n}}{\partial y_{n}}}\end{vmatrix}};$$

тобто, ${\textbf {J}}$ є якобіаном.

Доведення. Спочатку позначимо:

$$h(B)=\{{\textbf {x}}:g({\textbf {x}})\in B\},\qquad {\text{для}}\qquad B\subset \mathbb {R} ^{n}.$$

Тепер

$$P({\textbf {Y}}\in B)=P({\textbf {X}}\in h(B))=\int _{h(B)}f_{\textbf {X}}({\textbf {x}})\operatorname {d} {\textbf {x}}.$$

Проводио заміну ${\textbf {y}}=g({\textbf {x}})$ відповідно до формули для заміни змінних в кратних інтегралах:

$$P({\textbf {Y}}\in B)=\int _{B}f_{\textbf {X}}(h_{1}({\textbf {y}}),h_{2}({\textbf {y}}),\ldots ,h_{n}({\textbf {y}}))\cdot |{\textbf {J}}|\operatorname {d} {\textbf {y}}.$$

Твердження теореми одразу випливає з наступного результату:

Нехай ${\textbf {Z}}$ це $n$-мірний неперервний випадковий вектор. Якщо для кожної $B\in \mathbb {R} ^{n}$,

$$P({\textbf {Z}}\in B)=\int _{B}h({\textbf {x}})\operatorname {d} {\textbf {x}},$$

тоді $h$ — щільність ${\textbf {Z}}$.

${\textstyle \blacksquare }$

Див. також

• Випадкова величина
• Багатовимірна випадкова величина
• Щільність випадкової величини
• Багатократний інтеграл
• Якобіан
• Обернена функція
• Абсолютно неперервна випадкова величина

Зовнішні посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Random variable, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Zukerman, Moshe (2014), Introduction to Queueing Theory and Stochastic Teletraffic Models (PDF), arXiv:1307.2968
• Zukerman, Moshe (2014), Basic Probability Topics (PDF)

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag. ISBN 0-387-22833-0.