Характеристична підгрупа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Характеристична підгрупапідгрупа, інваріантна відносно всіх автоморфізмів групи. Тобто підгрупа є характеристичною, якщо для кожного автоморфізму групи і для кожного елемента виконується .

Властивості

[ред. | ред. код]
  • Якщо підгрупа є характеристичною, вона є нормальною, зворотне твердження невірне.
Наприклад якщо група G є прямим добутком H × H, то підгрупи {1} × H і H × {1} є нормальними, але не є характеристичними (зокрема не є інваріантними щодо автоморфізму (x, y) → (y, x))
  • Якщо N є нормальною підгрупою групи G, а A є характеристичною підгрупою групи N, то Aє нормальною підгрупою групи G.
Для деякого визначимо внутрішній автоморфізм таким чином: Оскільки група N нормальна то за означенням маємо, що тобто є автоморфізмом групи N. Відповідно оскільки A є характеристичною підгрупою групи N то вона інваріантна щодо усіх таких тобто є нормальною.
  • Якщо N є характеристичною підгрупою групи G, і A є характеристичною підгрупою групи N, то іAє характеристичною підгрупою групи G.
Доводиться ідентично до попереднього з заміною на довільний автоморфізм.

Приклади

[ред. | ред. код]
Дійсно нехай деякий автоморфізм групи і деякий елемент, що належить центру групи. Тоді і оскільки то маємо .

Див. також

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]