Нормальна підгрупа

Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) — це особлива підгрупа, в яких лівий і правий клас суміжності збігаються. Інваріантні підгрупи дозволяють будувати фактор-групу по заданій групі.

Визначення

Підгрупа $\ N$ групи $\ G$ називається нормальною, якщо вона інваріантна відносно спряження, тобто:

$N\triangleleft G\quad \iff \quad \forall n\in N,g\in G:\;\;gng^{-1}\in N.$

Наступні умови нормальності підгрупи є еквівалентними:

1. $\forall g\in G:\;gNg^{-1}\subseteq N$
2. $\forall g\in G:\;gNg^{-1}=N$
3. Множини лівих і правих суміжних класів $N$ в $G$ збігаються.
4. $\forall g\in G:\;gN=Ng$.

Умова (1) слабша, чим (2), а умова (3) слабша, ніж (4). Тому умови (1) та (3) часто використовують при доведенні нормальності підгрупи.

Приклади

• $\ \{e\}$ та $G$ — завжди нормальні підгрупи $G$. Вони називаються тривіальними. Якщо інших нормальних підгруп немає, то група $G$ називається простою.

• Центр групи — нормальна підгрупа.

• Комутант групи — нормальна підгрупа.

• Довільна характеристична підгрупа є нормальною, бо її спряження завжди є автоморфізмом.

• Всі підгрупи $N$ абелевої групи $G$ нормальні, тому що $gN=Ng$. Неабелева група, в якої всі підгрупи нормальні називається гамільтоновою.

Властивості

• Нормальність зберігається при епіморфізмах (сюр'єктивних гомоморфізмах) і взятті обернених образів.
• Нормальність зберігається при побудові прямого добутку.
• Нормальна підгрупа нормальної підгрупи не обов'язково є нормальною в групі, тобто нормальність не транзитивна. Але характеристична підгрупа нормальної підгрупи є нормальною.

Наприклад, діедральна група $D_{4}=\langle r,f|f^{2}=1,r^{4}=1,fr=r^{-1}f\rangle .$

Підгрупа $H=\langle rf,fr\rangle =\{1,rf,r^{2},fr\}\simeq C_{2}\times C_{2}$ ізоморфна групі Клейна і $H\triangleleft G.$

І далі, $K=\langle rf\rangle =\{1,rf\}\triangleleft H,$ але $K$ не нормальна в $G,$ оскільки $f\cdot rf\cdot f^{-1}=f\cdot rf\cdot f=fr\notin K.$

• Кожна підгрупа індексу 2 є нормальною. Якщо $p$ — найменший простий дільник порядку $G$, то довільна підгрупа індекса $p$ нормальна.
• Якщо $N$ — нормальна підгрупа в $G$, то на множині лівих (правих) суміжних класів $G/N$ можна ввести групову структуру за правилом

$(g_{1}N)(g_{2}N)=(g_{1}g_{2})N$

Отримана множина називається фактор-групою $G$ за $N$.

• $N$ нормальна тоді і тільки тоді, коли вона тривіально діє на лівих суміжних класах $G/N$.
• Нормальні підгрупи групи G утворюють ґратку відносно операції включення з найменшим елементом {e} та найбільшим елементом G. Ґратка є повною та модулярною.

Історичні факти

Еварист Галуа перший зрозумів важливість нормальних підгруп.

Див. також

• Норма (теорія груп)
• Квазінормальна підгрупа

Джерела

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)