*-алгебра

*-алгебра (алгебра з інволюцією, алгебра з операцією спряження) — асоціативна алгебра з інволюцією, що має властивості подібні до комплексного спряження.

*-кільце

*-кільце — кільце з унарною операцією * яка є

• антиавтоморфізмом, тобто

$\ (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$

$\ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}$

$\ 1^{*}=1$

• та інволюцією, тобто

$\ (x^{*})^{*}=x.$

Таке кільце ще називається — кільце з інволюцією.

*-алгебра

*-алгебра A це *-кільце, що є асоціативною алгеброю над іншим *-кільцем R, з узгодженням операції * в $R\subset A.$

Базове *-кільце це, зазвичай, комплексні числа (де * — комплексне спряження).

Тоді * є спряжено-лінійним, тобто

$(\lambda x+\mu y)^{*}=\lambda ^{*}x^{*}+\mu ^{*}y^{*}\quad \lambda ,\mu \in R;\;\;x,y\in A$.

*-гомоморфізм $\ f:A\to B$ є гомоморфізм алгебр що відображає інволюцію в A на інволюцію в B, тобто:

$f(x^{*})=f(x)^{*}\quad \forall x\in A.$

---

• Елементи для яких $\ x^{*}=x$ називаються само-спряженими, симетричними або ермітовими.
• Елементи для яких $\ x^{*}=-x$ називаються косо-спряженими, анти-симетричними або анти-ермітовими.
• Можна визначити сесквілінійну форму за допомогою операції * у виді $\phi (x,y)=x^{*}\cdot y$.

C*-алгебра

C*-алгебра — Банахова *-алгебра, для якої виконується C*–властивість:

$\|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|,$

$\|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|.$

Обидві умови є еквівалентними.

Також вони еквівалентні В*–властивості

$\|xx^{*}\|=\|x\|^{2}.$

Приклади

• Найвідомішим прикладом є комплексні числа $\mathbb {C}$ з операцією спряження.
• За допомогою процедури Кейлі-Діксона утворюються алгебри з операцією спряження: комплексні числа, кватерніони, октоніони.
• Квадратні матриці з комплексними елементами з операцією ермітового спряження.
• Ермітове спряження лінійного оператора в Гільбертовому просторі.

Властивості

Багато властивостей спряження для комплексних чисел зберігаються в *-алгебрах:

• Якщо для 2 в алгебрі існує обернений елемент, тоді ${\frac {1}{2}}(1-*)$ та ${\frac {1}{2}}(1+*)$ є ортогональними ідемпотентами. Якщо їх вибрати в базис, то алгебра як векторний простір розкладається в пряму суму підпросторів з симетричних та анти-симетричних (ермітових та анти-ермітових) елементів.
• Ермітові елементи *-алгебри утворюють алгебру Йордана.
• Анти-ермітові елементи *-алгебри утворюють алгебру Лі.

Див. також

• Нормована алгебра з діленням

Джерела

• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)