G-область

У математиці, G-областю або областю Гольдмана називається область цілісності A для якої поле часток є скінченнопородженою алгеброю над A. Названі на честь американського математика Оскара Гольдмана.

Ідеал I у комутативному кільці A називається G-ідеалом якщо фактор-кільце A/I є G-областю. G-ідеали є простими але не обов'язково максимальними.

Еквівалентні означення

Область цілісності $A$ є G-областю якщо і тільки якщо для неї виконуються еквівалентні умови:

Його поле часток є простим розширенням області $A$
Його поле часток є скінченним розширенням області $A$
Перетин його ненульових простих ідеалів є ненульовим
Існує елемент $y\in A$ такий, що для кожного ненульового ідеалу $I$ , $y^{n}\in I$ для деякого $n$ .^[1]

Дані характеристики G-області є еквівалентними. Справді з першої властивості тривіально випливає друга. Якщо натомість $K=A[x_{1}/y_{1},\ldots ,x_{n}/y_{n}]$ , то позначивши $y=y_{1},\ldots ,y_{n}$ також $K=A[1/y]$ і розширення є простим.

Якщо тепер $K=A[1/y]$ то для будь-якого простого ідеалу ${\mathfrak {p}}$ у $A$ і ненульового елемента $x\in {\mathfrak {p}}$ у полі $K$ виконується рівність $x^{-1}=zy^{-n}$ для деяких $z\in A,\;n\in \mathbb {N}$ . Тоді $y^{n}=zx\in {\mathfrak {p}}$ , тому $y\in {\mathfrak {p}}$ . Тобто $y$ належить перетину усіх простих ідеалів. Тобто з першої характеристики випливає третя.

Якщо при цьому усі степені $y$ не належать деякому ненульовому ідеалу $I$ , то згідно теореми віддільності у статті Простий ідеал існує також простий ідеал якому не належать усі степені $y$ . Тобто з третьої характеристики випливає четверта.

Нехай тепер виконується четверта властивість і $x\in A$ — довільний ненульовий елемент. Тоді головний ідеал $(x)$ містить деякий степінь елемента $y$ . Тобто для деяких $z\in A,\;n\in \mathbb {N}$ виконується рівність $y^{n}=xz$ і тому у полі часток $x^{-1}=zy^{-n}$ . Зважаючи на довільність вибору елемента $x$ отримуємо, що з четвертої властивості випливає перша.

Приклади

Будь-яке поле є G-областю.
Кільце головних ідеалів є G-областю тоді і тільки тоді коли в ній є скінченна кількість простих елементів (з точністю до множення на оборотні елементи).
Якщо $A$ є областю цілісності то кільце многочленів $A[x]$ не є G-областю.

Нехай

K

— поле часток кільця

A

. Якщо

A[x]

є G-областю, то G-областю є також

K[x]

. Кільце

K[x]

є кільцем головних ідеалів. Тому достатньо довести, що у

K[x]

є нескінченна кількість простих елементів. Припустимо, що

p_{1},\ldots ,p_{n}

— усі незвідні многочлени зі старшим коефіцієнтом 1. Тоді многочлен

q=p_{1}\cdot \ldots p_{n}+1

не ділиться на жоден із незвідних многочленів, що приводить до суперечності. Тому множина має бути нескінченною і

A[x]

не може бути G-областю.

Властивості

Радикал ідеалу I є перетином всіх G-ідеалів, що містять I.^[2]

Кожен елемент радикала належить усім простим ідеалам, що містять I, зокрема і всім G-ідеалам, що містять I. Навпаки якщо елемент

x

не належить радикалу ідеалу, то максимальний елемент множини ідеалів, що містять I і не перетинаються із мультиплікативною системою

x^{n}

буде деяким простим ідеалом

{\mathfrak {p}}

. Образ елемента

x

у фактор-кільці

A/{\mathfrak {p}}

належатиме всім простим ідеалам (зважаючи на максимальність

{\mathfrak {p}}

серед простих ідеалів, що не містять

x

), а тому

A/{\mathfrak {p}}

є G-областю і

{\mathfrak {p}}

— G-ідеалом.

Якщо область цілісності A із полем часток K є G-областю то будь-яке кільце R таке що $A\subset R\subset K$ теж є G-областю.
Кожен максимальний ідеал є G-ідеалом, оскільки фактор-кільце по максимальному ідеалу є полем. G-ідеали є єдиними максимальними ідеалами у кільці Джекобсона, і навпаки кільце є кільцем Джекобсона якщо всі максимальні ідеали є G-ідеалами.^[3]
Якщо $B\supset A$ , є розширенням областей і $A$ є G-областю, то $B$ є алгебричним над $R$ якщо і тільки якщо кожне кільце R таке що $A\subset R\subset K$ є G-областю.^[4]
Якщо $A$ є областю цілісності і кільце $A[u]$ є G-областю то $A$ теж є G-областю, а елемент $u$ — алгебричний над $A$ .
Область цілісності $A$ є G-областю тоді і тільки тоді коли у кільці многочленів $A[x]$ існує максимальний ідеал ${\mathfrak {m}}$ для якого $A\cup {\mathfrak {m}}=\emptyset$ .
Нетерівська область цілісності є G-областю якщо і тільки якщо кожен її простий ідеал є максимальним і вона має скінченну кількість максимальних ідеалів (чи, еквівалентно, простих ідеалів).^[3]

Примітки

↑ Kaplansky, Irving. Commutative Algebra. Polygonal Publishing House, 1974, pp. 12, 13.
↑ Kaplansky, Irving. Commutative Algebra. Polygonal Publishing House, 1974, pp. 16, 17.
↑ ^а ^б Kaplansky, Irving. Commutative Algebra. Polygonal Publishing House, 1974, p. 19.
↑ Dobbs, David. "G-область Pairs". Trends у Commutative Algebra Research, Nova Science Publishers, 2003, pp. 71–75.

Див. також

Кільце Джекобсона

Література

Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (вид. Revised), University of Chicago Press, ISBN 0-226-42454-5, MR 0345945
Picavet, Gabriel (1999), About GCD domains, у Dobbs, David E. (ред.), Advances in commutative ring theory. Proceedings of the 3rd international conference, Fez, Morocco, Lect. Notes Pure Appl. Math., т. 205, New York, NY: Marcel Dekker, с. 501—519, ISBN 0824771478, Zbl 0982.13012

[1] Kaplansky, Irving. Commutative Algebra. Polygonal Publishing House, 1974, pp. 12, 13.

[2] Kaplansky, Irving. Commutative Algebra. Polygonal Publishing House, 1974, pp. 16, 17.

[:0-3] а ^б Kaplansky, Irving. Commutative Algebra. Polygonal Publishing House, 1974, p. 19.

[4] Dobbs, David. "G-область Pairs". Trends у Commutative Algebra Research, Nova Science Publishers, 2003, pp. 71–75.

[1]

[2]

[3]

[4]