Ікосіани

Ікосіани — некомутативна алгебрична структура, яку 1856 року виявив ірландський математик Вільям Ровен Гамільтон. У сучасній термінології він знайшов задання групи обертань ікосаедра за допомогою генераторів та зв'язків.

Відкриття Гамільтона виникло з його спроб знайти алгебру «трійок» (3-кортежів), які, як він вірив, відбиватимуть осі координат. Ікосіани можна ототожнити з переміщеннями по вершинах додекаедра. Робота Гамільтона в цій галузі опосередковано призвела до гамільтонових циклів і гамільтонових шляхів у теорії графів. Для ілюстрування та популяризації свого відкриття він також винайшов гру «Ікосіан».

Неформальне визначення

Стереографічна проєкція додекаедра, яку Гамільтон використав для гри «Ікосіан»

Алгебра ґрунтується на трьох символах, які є коренями з одиниці, так що послідовне застосування будь-якого з них через кілька кроків приводить до одиниці. Це:

${\begin{aligned}\iota ^{2}&=1,\\\kappa ^{3}&=1,\\\lambda ^{5}&=1.\end{aligned}}$

Гамільтон також дав інший зв'язок між символами:

$\lambda =\iota \kappa .$

(В сучасних термінах це (2,3,5) група трикутника.)

Операція асоціативна, але не комутативна. Вона утворює групу 60-го порядку, ізоморфну групі обертань правильного ікосаедра або додекаедра, а тому знакозмінної групи п'ятого степеня.

Хоча алгебра існує як цілком абстрактна побудова, її можна наочно подати в термінах операцій із вершинами додекаедра. Гамільтон сам використав плоске подання додекаедра як основу гри.

Уявімо жука, що повзе вздовж певного ребра додекаедра (з позначеними вершинами) у певному напрямку, скажімо, від $B$ до $C$ . Ми можемо подати це як орієнтовану дугу $BC$.

Геометричне подання операції $\iota$ для ікосіанів

• Ікосіан $\iota$ прирівнюється до зміни напрямку будь-якого ребра, так що жук буде повзти від $C$ до $B$ (в напрямку дуги $CB$).

• Ікосіан $\kappa$ прирівнюється до обертання поточного напрямку жука проти годинникової стрілки навколо кінцевої вершини. У прикладі це означає зміна поточного напрями $BC$ на $DC$ .

• Ікосіан $\lambda$ прирівнюється до правого повороту в кінцевій точці, тобто переході від $BC$ до $CD$.

Спадщина

Ікосіани є одним із найраніших прикладів багатьох математичних ідей, зокрема:

• подання та вивчення груп за допомогою генераторів та зв'язків;
• групи трикутника, пізніше узагальненої групи Коксетера;
• візуалізації групи за допомогою графа, що привела до комбінаторної теорії груп, а пізніше — до геометричної теорії груп;
• гамільтонових циклів та шляхів у теорії графів;
• dessin d'enfant.