Функтор

Функтор — відображення однієї категорії в іншу, узгоджене зі структурою категорій. Функтори були вперше введені в алгебраїчній топології, де алгебраїчні структури пов'язуються з топологічними просторами, а їхні гомоморфізми — з неперервними відображеннями. В наш час^[коли?] функтори використовуються в багатьох розділах математики для встановлення зв'язків між різними категоріями. Термін «функтор» був взятий математиками з робіт філософа Р. Карнапа.

Визначення

Одномісним коваріантним функтором ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ з категорії ${\mathcal {C}}$ у категорію ${\mathcal {D}}$, називається пара відображень ${\mathcal {F}}_{Ob}\colon Ob\,{\mathcal {C}}\to Ob\,{\mathcal {D}}$ ${\mathcal {F}}_{\mathrm {Hom} }\colon \mathrm {Hom} \,{\mathcal {C}}\to \mathrm {Hom} \,{\mathcal {D}}$ що позначаються зазвичай однією і тією ж буквою, наприклад F , та задовольняють умовам:

1. $F(id_{A})=id_{F(A)}\,$ для кожного $A\in Ob\,{\mathcal {D}}$;
2. $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ для будь-яких морфізмів $f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$ і $g\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(B,C)$.

Функтор з категорії ${\mathcal {C}}^{*}$, двоїстої категорії ${\mathcal {C}}$, у категорію ${\mathcal {D}}$ називається одномісним контраваріантним функтором з ${\mathcal {C}}$ у ${\mathcal {D}}$. Таким чином для контраваріантного функтора ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ як і раніше повинна виконуватися умова 1), а замість умови 2) — умова 2*) $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ для будь-яких морфізмів $f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$$g\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(B,C)$.

n-містним функтором з категорій ${\mathcal {C}}_{1},{\mathcal {C}}_{2},{\mathcal {C}}_{3},...,{\mathcal {C}}_{n}$ в категорію ${\mathcal {D}}$, коваріантним за аргументами $1<i_{1}<i_{2}<...<i_{k}<n$ і контраваріантним за рештою аргументів, називається функтор з декартового добутку категорій $\prod _{i=1}^{n}{\bar {\mathcal {C}}}_{i}$ у категорію ${\mathcal {D}}$, де ${\bar {\mathcal {C}}}_{i}={\mathcal {C}}_{i}$ при $i=i_{1},i_{2},...,i_{k}$ і ${\bar {\mathcal {C}}}_{i}={\mathcal {C}}_{i}^{*}$ при інших i. Двомісні функтори, коваріантні за обома аргументами, називаються біфункторами.

Поліноміальний функтор

В алгебрі поліноміальний функтор є ендофунктором у категорії ${\mathcal {V}}$ скінченновимірних векторних просторів, що поліноміально не залежить від векторних просторів.

Нехай $E$ та $F$ - однорідні поліноміальні функтори степенів $m$ та $n$ відповідно. Тоді $E\otimes F:X\mapsto E(X)\otimes F(X)$ - однорідний поліноміальний функтор степеня $m+n,$ який відповідає представленню групи $S_{m+n}.$

Приклади

1. Функтор ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$, що відображає кожен об'єкт категорії ${\mathcal {C}}$ в деякий фіксований об'єкт X категорії ${\mathcal {D}}$, а кожен морфізм категорії ${\mathcal {C}}$ в одиничний морфізм на об'єкті X називавається сталим функтором.
2. Тотожне відображення довільної категорії ${\mathcal {C}}$ в себе є одномісним коваріантним функтором, який називається тотожним функтором категорії і позначається $Id_{\mathcal {C}}$.
3. Нехай ${\mathcal {C}}$ — довільна категорія ${\mathcal {O}}$ — категорія множин, А — фіксований об'єкт з ${\mathcal {C}}$. Зіставлення кожному $X\in Ob\,{\mathcal {C}}$ множини $\mathrm {Hom} ^{A}(X)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,X)$ і кожному морфізму $F\colon X\to Y$ відображення $\mathrm {Hom} _{f}^{A}\colon \mathrm {Hom} ^{A}(X)\to \mathrm {Hom} ^{A}(Y)$, де $\mathrm {Hom} _{f}^{A}(g)=gf$ для кожного $g\in \mathrm {Hom} ^{A}(X)$, є функтором з ${\mathcal {C}}$ у ${\mathcal {O}}$. Цей функтор називається основним коваріантним функтором з ${\mathcal {C}}$ у ${\mathcal {O}}$ з представляючим об'єктом А. За допомогою двоїстості визначається контраваріантний функтор з ${\mathcal {C}}$ у ${\mathcal {O}}$ з представляючим об'єктом А. Ці функтори позначаються $\mathrm {Hom} ^{A}$ і $\mathrm {Hom} _{A}$ відповідно. Якщо ${\mathcal {C}}$ — категорія векторних просторів над полем K, то функтор $\mathrm {Hom} _{K}\,$ задає перехід від простору Е до простору лінійних функціоналів Е^*. У категорії топологічних абелевих груп функтор $\mathrm {Hom} _{Q}\,$, де Q — факторгрупа групи дійсних чисел по підгрупі цілих чисел, зіставляє кожній групі її групу характерів.

У будь-якій категорії зі скінченними добутками, добуток можна розглядати як n-місний функтор, коваріантний за всіма аргументами, при будь-якому натуральному n. Як правило, конструкції, що визначаються для будь-якого об'єкта категорії або для будь-якої послідовності об'єктів фіксованої довжини незалежно від індивідуальних властивостей об'єктів, є функторами. Такі, наприклад, конструкція вільних алгебр деякого многовиду універсальних алгебр, що однозначно зіставляються кожному об'єктові категорії множин, конструкція фундаментальної групи топологічного простору, конструкції груп гомології і когомології різних розмірностей і т. д.

Будь-який функтор ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ визначає відображення кожної множини $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$ в множину $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(F(A),F(B)$ зіставляючи морфізму $f\colon A\to B$ морфізм $F(f)\colon F(A)\to F(B)$. функтор F називається унівалентним, якщо всі вказані відображення ін'єктивні, і повним, якщо всі ці відображення сюр'єктивні.

Див. також

• Забутливий функтор
• Конкретна категорія

Література

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1985.
• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
• И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.